Imbrogliare funzioni simmetriche arbitrarie

Si dice che una distribuzione ϵ -fool una funzione f se | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ . E si dice che imbroglia una classe di funzioni se imbroglia ogni funzione di quella classe. È noto che gli spazi di parte ϵ ingannano la classe di parità su sottoinsiemi. (vedi Alon-Goldreich-Hastad-Peralta$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$per alcune belle costruzioni di tali spazi). La domanda che voglio porre è una generalizzazione di ciò a arbitrarie funzioni simmetriche.

Domanda: Supponiamo che prendiamo la classe di funzioni simmetriche arbitrarie su alcuni sottoinsiemi, abbiamo una distribuzione (con un piccolo supporto) che imbroglia questa classe?

Alcune piccole osservazioni:

• È sufficiente ingannare le soglie esatte ( è 1 se e solo se x ha esattamente k tra gli indici in S ). Qualsiasi distribuzione che ε -fools tali soglie esatte sarà n ε ingannare tutto funzioni simmetriche su n bit. (Questo perché ogni funzione simmetrica può essere scritta come una vera combinazione lineare di queste soglie esatte in cui i coefficienti nella combinazione sono 0 o 1. La linearità delle aspettative ci dà ciò che vogliamo) Un argomento simile funziona anche per le soglie generali ( Th S k ( $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  è 1 se e solo se x ha almeno k quelli tra gli indici in S )$\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$$S$

• Esiste una costruzione esplicita di una distribuzione con supporto tramite il PRG di Nisan per LOGSPACE .$n^{O(\log n)}$

• Arbitraria -biased spazi non funzionerà. Ad esempio, se S è l'insieme di tutti X tale che il numero di quelle in x è diverso da zero mod 3, questo è effettivamente ε -biased per molto piccole ε (da un risultato di Arkadev Chattopadyay ). Ma chiaramente questo non ingannare la funzione MOD3.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

Un sottoproblema interessante potrebbe essere il seguente: supponiamo di voler solo ingannare le funzioni simmetriche su tutti gli n indici , abbiamo uno spazio piacevole? Dalle osservazioni precedenti, dobbiamo solo ingannare le funzioni di soglia su -bits, che è solo una famiglia di n + 1 funzioni. Quindi si può semplicemente scegliere la distribuzione per forza bruta. Ma ci sono esempi più belli di spazi che ingannano Th [ n ] k per ogni k ?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Sì, una soluzione generale a questo problema è stata recentemente fornita da Parikshit Gopalan, Raghu Meka, Omer Reingold e David Zuckerman, vedi Generatori pseudocasuali per forme combinatorie .

Quel documento gestisce un'impostazione ancora più generale, in cui il generatore emette blocchi log m -bit, che vengono quindi inviati a funzioni booleane arbitrarie, i cui n output vengono quindi inviati a una funzione simmetrica booleana.$n$ $\log m$$n$

Era già nota una varietà di sotto-casi; vedere, ad esempio, generatori di bit pseudocasuali che imbrogliano somme modulari , insiemi di indipendenza limitati halfspace e generatori pseudocasuali per funzioni di soglia polinomiale . Il primo gestisce le somme modulo . Il secondo e il terzo gestiscono esattamente i test di soglia citati, tuttavia l'errore non è abbastanza buono da applicare il ragionamento per ottenere un risultato per ogni funzione simmetrica.$p$