Completezza NP rispetto ai reali

Di recente sto studiando il modello di calcolo BSS (cfr. Per esempio Complessità e calcolo reale; Blum, Cucker, Shub, Smale.)

Per i reali $R$ , si mostra che, dato un sistema di polinomi $f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$ , l'esistenza di zeri è $NP_R$ . Tuttavia, mi chiedo, se quelle $f$ sono polinomi hanno solo coefficienti interi, cioè $f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$, è ancora il problema -hard? (è ovviamente in N P R ).$NP_R$$NP_R$

Sospetto si, ma esiste una semplice prova?

Penso che la risposta sia no , supponendo (credo di dare una prova di seguito, ma ci sono abbastanza questioni definitive potenzialmente nitide che sono cauto riguardo alle mie affermazioni).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Prova che la risposta non è presumibile $\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : In effetti, credo che valga la seguente affermazione più forte:

Lemma: Per qualsiasi decisione BSS problema su R , se L poli-tempo-BSS R riduce ad un problema su input interi, allora L ∈ P R .$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Prova di lemma : Supponiamo che ci fosse un BSS polinomiale R riduzione da L a un problema a monte interi, in una macchina M . Per input costituiti da n parametri reali, srotolare il calcolo di M in un albero di calcolo algebrico. Ci sono solo molte foglie finite e il risultato di ogni foglia è una singola funzione razionale nei parametri di input. Affinché una funzione razionale di input reali emetta sempre un valore intero, deve essere una funzione costante e quindi non dipendere dall'input. Tuttavia, quale funzione costante viene usata su ogni foglia può ovviamente dipendere dai rami. Tuttavia, poiché M è una macchina uniforme, può esserci solo O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$ nodi di output, e quindi solo O ( 1 ) valori di output. Quindi M può essere banalmente modificato per decidere di fatto L in tempo polinomiale. QED$O(1)$$O(1)$$M$$L$

Ora, considera come reale fattibilità di veri polinomi. Se P R ≠ N P R , quindi L ∉ P R , e dal Lemma non vi è alcuna riduzione da L a nessun problema sugli ingressi interi (in particolare, alla reale fattibilità dei polinomi interi ).$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

Promessa problema? : Un altro potenziale problema con la tua domanda è che la fattibilità reale dei polinomi interi potrebbe non essere in , ma solo nella sua versione promessa. Il problema qui è che per verificare che un input (come il coefficiente di un polinomio f i ) sia un numero intero richiede tempo che dipende dalla grandezza di x , mentre l'insieme di istanze (tutte le istanze, non solo si-istanze) per un problema di decisione N P R dovrebbe essere decidibile in P R , quest'ultimo significa che ci vuole tempo polinomiale nel numero di parametri$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$e non le loro magnitudini. Questo, credo, è strettamente correlato al fatto che gli interi non sono definibili nel primo ordine nei reali. (Essenzialmente il meglio che una macchina BSS R può fare per testare se un input x è un numero intero è calcolare la parte intera di x calcolando le potenze di 2 e facendo "ricerca binaria". Una volta calcolata la parte intera di x , controlla solo se è uguale a x .) Quindi penso che la probabilità della reale fattibilità delle equazioni intere sia in P r o m i s e N P R ma probabilmente non in N$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$ (o almeno sembra non banale provare che si trova in N P R ).$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$