Quanto è potente l'esatta elaborazione "quantistica" se sospendi l'unità?

Breve domanda.

Qual è la potenza computazionale dei circuiti "quantistici", se consentiamo porte non unitarie (ma ancora invertibili) e richiediamo che l'uscita fornisca la risposta corretta con certezza?

Questa domanda è in un certo senso su cosa succede alla classe quando si consente ai circuiti di utilizzare più di semplici cancelli unitari. (Siamo ancora costretti a limitarci a porte invertibili su se vogliamo essere in grado di avere un modello di calcolo ben definito.)$\mathsf{EQP}$$\mathbb C$

(Questa domanda ha subito alcune revisioni alla luce della confusione da parte mia sui risultati noti di tali circuiti nel caso unitario.)

Informazioni sul calcolo quantico "esatto"

Definisco per il bene di questa domanda essere la classe di problemi che possono essere risolti esattamente da una famiglia di circuiti quantici uniformi, in cui i coefficienti di ciascun unitario sono calcolabili da macchine di Turing limitate al tempo polinomiale (dal stringa di input ) per ciascuna dimensione di input e che il layout del circuito come rete diretta può anche essere prodotto in tempo polinomiale. Con "esattamente" risolto, intendo che la misurazione del bit di output produce con certezza per le istanze NO e con certezza per le istanze YES.$\mathsf{EQP}$$1^n$$n$$|0\rangle$$|1\rangle$

Avvertenze:

• Anche limitandosi alle porte unitarie, questa nozione di è diversa da quella descritta da Bernstein e Vazirani usando macchine quantistiche di Turing. La definizione precedente consente a una famiglia di circuiti di avere in linea di principio un set di gate infinito - ovviamente ogni singolo circuito utilizza solo un sottoinsieme finito, poiché le porte sono in effetti calcolate dagli ingressi. (Una macchina di Turing quantistica può simulare qualsiasi set di gate finito che ti piace, ma può solo simulare set di gate finiti, perché ha solo un numero finito di transizioni.)$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• Questo modello di calcolo banalizza qualsiasi problema in , perché l'unitario potrebbe contenere una singola porta che codifica la soluzione a qualsiasi problema in (i suoi coefficienti sono in definitiva determinati da un calcolo poli-tempo). Pertanto, la complessità temporale o spaziale specifica dei problemi non è necessariamente interessante per tali circuiti.$\mathsf P$$\mathsf P$

Possiamo aggiungere a questi avvertimenti l'osservazione che le implementazioni pratiche di computer quantistici avranno comunque rumore. Questo modello di calcolo è interessante principalmente per ragioni teoriche , in quanto si tratta di comporre trasformazioni unitarie piuttosto che di calcoli fattibili, e anche come una versione esatta di . In particolare, nonostante le avvertenze sopra, abbiamo .$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

La ragione per definire nel modo in cui lo faccio è che DISCRETE-LOG può essere inserito in . Di [  Mosca + Zalka 2003  ], esiste un algoritmo a tempo polinomiale per costruire un circuito unitario che risolve esattamente istanze di DISCRETE-LOG producendo versioni esatte del QFT a seconda del modulo di input. Credo che possiamo quindi inserire DISCRETE-LOG in , come definito sopra, incorporando gli elementi di costruzione del circuito nel modo in cui vengono calcolati i coefficienti di gate. (Quindi il risultato DISCRETE-LOG vale essenzialmente per fiat, ma facendo affidamento sulla costruzione di Mosca + Zalka.)E Q $\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$ ∈ E Q $\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

Sospensione dell'unità

Sia la classe computazionale che otteniamo se sospendiamo la limitazione che le porte sono unitarie e permettiamo loro di spaziare su trasformazioni invertibili. Possiamo collocare questa classe (o addirittura caratterizzarla) in termini di altre classi tradizionali non deterministiche C ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

Uno dei miei motivi per chiedermi: se è la classe di problemi risolvibile in modo efficiente con errore limitato , da famiglie di circuiti "quantistiche non unitarie" uniformi - dove le istanze YES forniscono un output di | 1 ⟩ con probabilità almeno 2/3, e NO istanze con probabilità al massimo 1/3 (dopo normalizzando lo stato vector) - allora [Aaronson 2005] mostra che B Q P G L = P P . Cioè: sospendere l'unità è in questo caso equivalente a consentire un errore illimitato.$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

Un risultato simile o un risultato chiaro si ottiene per ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

Risposta breve. Si scopre che sospendere il requisito delle trasformazioni unitarie e richiedere che ogni operazione sia invertibile dà origine a classi esatte da gap-definable. Le classi specifiche in questione siano ed un 'nuovo' sottoclasse L P W P P , entrambi i quali siedono tra S P P e C = P . Queste classi hanno definizioni abbastanza tecniche, che sono brevemente descritte di seguito; sebbene queste definizioni ora possano essere sostituite, in linea di principio, con quelle in termini di algoritmi "quantistici" non unitari.$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

La classe di conteggio contiene ISOMORFISMO GRAFICO. Contiene anche l'intera classe U P , quindi non ci aspetteremmo che gli esatti algoritmi quantistici unitari siano potenti quanto le classi non unitarie (come potremmo altrimenti mostrare N P ⊆ B Q P ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

Risposta più lunga.

• Nella mia domanda, ho proposto di ridefinire per consentire la risoluzione di problemi risolvibili da famiglie di circuiti uniformi che utilizzano porte che sono calcolabili in modo efficiente, ma non necessariamente tratte da un set di gate finito. Non sono più così sicuro che sia una buona idea ridefinire E Q P in questo modo, anche se credo che valga la pena studiare queste famiglie di circuiti. Potremmo chiamare questa classe qualcosa di simile a U n i t a r y P C invece.$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  E 'possibile dimostrare che , che fino a poco era il più noto vincolato per E Q P . La classe L W P P corrisponde più o meno a problemi per i quali esiste un algoritmo randomizzato, in cui nessuna istanza produce un risultato 1 con probabilità esattamente 0,5 e le istanze YES producono un risultato 1 con qualche probabilità che può essere efficacemente e calcolato esattamente in forma razionale, che è maggiore di (ma possibilmente esponenzialmente vicino a) 0,5. La definizione tecnica di L W $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ è presentato in termini di macchine di Turing non deterministiche, ma non è più illuminante.$\mathsf{LWPP}$

  Se definiamo l'equivalente di gate invertibile di U n i t a r y P C , in modo che sia l'insieme di problemi che sono esattamente risolvibili dalle famiglie di circuiti invertibili con coefficienti di gate calcolabili in modo efficiente, allora G L P C = L W P P .$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• Se ci limitiamo a GATE-insiemi finiti, è possibile dimostrare che le famiglie circuitali unitari possono essere simulati in un sottoinsieme di , che potremmo definire L P W P P . (Usando la descrizione di L W P P sopra, questo corrisponde ad algoritmi randomizzati in cui la probabilità di ottenere un output di 1 per istanze YES è esattamente m t ( x ) / 2 p ( | x | ) , per alcuni polinomi p , alcuni intero $\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$, E alcuni polinomiale efficiente calcolabile .)$t$

  Se definiamo sia la invertibile-gate equivalente di E Q P come viene normalmente definito, si può mostrare che E Q P G L ⊆ L P W P P .$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

Una correzione riguardante DISCRETE LOG.

I risultati sopra riportati si basano su tecniche standard per rappresentare i coefficienti algebrici, in modo indipendente dall'input (ma che può dipendere dalla dimensione dell'input). Nella descrizione della domanda originale, ho affermato che [ Mosca + Zalka 2003 ] mostra che DISCRETE LOG è esattamente risolvibile da un gate con coefficienti calcolabili in modo efficiente. La verità sembra essere più complicata. Se uno si preoccupa dell'esatta solvibilità, allora considero importante la rappresentazione esatta dei coefficienti: ma Mosca e Zalka non forniscono un modo per farlo in un modo dipendente dall'input. Quindi non è ovvio che DISCRETE LOG sia in effetti in o nella nuova classe U n i t a r y $\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

Riferimento.

• de Beaudrap, Conteggio esatto e complessità quasi quantistica , [ arXiv: 1509.07789 ].