Esempi in cui l'unicità della soluzione semplifica la ricerca

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La classe di complessità $\mathsf{UP}$ costituita da queiproblemi $\mathsf{NP}$ che possono essere decisi da una macchina di Turing non deterministica temporale polinomiale che ha al massimo un percorso computazionale accettante. Cioè, la soluzione, se presente, èunicain questo senso. Si ritiene altamente improbabile che tutti isiano in, perché dalteorema Valiant-Vaziraniquesto implicherebbe il collasso. $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

D'altra parte, nessun è noto per essere completo, il che suggerisce che il requisito unico della soluzione li rende ancora in qualche modo più facili. $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$

Sto cercando esempi, in cui l'assunto di unicità porta a un algoritmo più veloce.

Ad esempio, osservando i problemi del grafico, è possibile trovare più rapidamente una cricca massima in un grafico (anche se probabilmente ancora in tempo esponenziale), se sappiamo che il grafico ha una cricca massima unica ? Che ne dite di unica -colorability, unico percorso hamiltoniano, unico set minimo dominante ecc.? $k$

In generale, possiamo definire una versione a soluzione unica di qualsiasi , ridimensionandoli a . È noto per qualcuno di loro che l'aggiunta dell'assunzione di unicità porta ad un algoritmo più veloce? (Consentendo che rimanga ancora esponenziale.) $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$

— Andras Farago
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La tua prima frase fornisce la definizione corretta di UP, ma il resto dei tuoi riferimenti a UP dovrebbe invece essere realmente PromiseUP (incluso Valiant-Vazirani). Ad ogni modo, questa è una domanda molto interessante. Due esempi: 1) Il factoring è in UP e ha un algoritmo più veloce di quelli noti per problemi NP-completi (ma il factoring è anche in coNP e persino coUP, quindi non è così chiaro che l' unicità sta alla base dell'algoritmo veloce qui.) 2 ) Sodoku, come tradizionalmente definito, è in PromiseUP, ma non conosco alcun approccio alla risoluzione del Sudoku che sfrutti l'unicità promessa.

— Joshua Grochow,

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La parità del numero di percorsi hamiltoniani si trova nel tempo

( arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf ), mentre l'algoritmo più noto per il problema decisionale richiede quasi

tempo.

{1.618}^{n}

$1.618^n$

2^{n}

$2^n$

— Alex Golovnev,

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Ecco un esempio di calcolo quantistico: considera il problema di ricerca su n articoli. Se sai che esiste esattamente 1 elemento contrassegnato, puoi trovarlo con un algoritmo quantico esatto con

query. Se non si conosce il numero di elementi contrassegnati, qualsiasi algoritmo quantistico esatto necessita di

query.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

n

$n$

— Robin Kothari,

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3-SAT può essere uno di questi problemi. Attualmente il miglior limite superiore per Unique 3-SAT è esponenzialmente più veloce rispetto al 3-SAT generale. (L'accelerazione è esponenziale, sebbene la riduzione dell'esponente sia minuscola.) Il detentore del record per il caso unico è questo articolo di Timon Hertli.

L'algoritmo di Hertli si basa sull'importante algoritmo PPSZ di Paturi, Pudlák, Saks e Zane per -SAT, che credo sia ancora il più veloce per (vedi anche questo articolo dell'enciclopedia). L'analisi originale ha mostrato limiti migliori per Unique -SAT rispetto a -SAT generale quando ; successivamente, tuttavia, Hertli ha mostrato in un altro documento $k$ $k \geq 5$ $k$ $k$ $k = 3, 4$ che potresti ottenere gli stessi limiti dell'algoritmo PPSZ (leggermente ottimizzato), senza assumere unicità. Quindi, forse l'unicità aiuta e può sicuramente semplificare l'analisi di alcuni algoritmi, ma la nostra comprensione del ruolo dell'unicità per -SAT è ancora in crescita. $k$

Ci sono prove che unico -SAT non è troppo facile che in generale -SAT. L'ipotesi del tempo esponenziale forte (SETH) afferma che non esiste tale che -variabile -SAT sia risolvibile in tempo per ogni costante . È stato mostrato in un articolo di Calabro, Impagliazzo, Kabanets e Paturi che, se SETH detiene, la stessa affermazione è vera per Unique -SAT. Inoltre, se il generale $k$ $k$ $\delta < 1$ $n$ $k$ $O^*(2^{\delta n})$ $k \geq 3$ $k$ $k$ -SAT richiede tempo esponenziale, ovvero vi è un certo tale che -SAT generale non può essere risolto nel tempo , quindi lo stesso deve valere per Unique 3-SAT. Vedi l'articolo per la dichiarazione più generale. $k \geq 3, \epsilon > 0$ $k$ $O^*(2^{\epsilon n})$

(Nota: la notazione sopprime i fattori polinomiali nella lunghezza dell'input.) $O^*$

— Andy Drucker
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"vero per Unique 3-SAT"

\mapsto

$\: \mapsto \:$ "true per Unique k-SAT"

$\;\;\;\;$

Ciao Ricky, non vedo problemi con ciò che è scritto. L'ultima affermazione su Unique 3-SAT si trova nell'abstract del documento.

— Andy Drucker,

Ah, vedo che dovrebbero essere usati diversi

per quello che stavo dicendo,

k

$k$

$\hspace{1.58 in}$ che lo renderebbe solo confuso.

$\;$

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Il problema del percorso disgiunto 2-Vertex più breve nei grafici non orientati recentemente risolto (ICALP14) di A. Bjorklund e T. Husfeldt. Ma la soluzione deterministica è per il caso dell'esistenza di una soluzione unica. Nel caso in cui ci sia più di una soluzione, hanno dimostrato che il problema appartiene a RP . Come autori del documento citato, non è noto se il problema sia in P in uno scenario generale.

— Saeed
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Grazie, è molto interessante Il caso generale, in cui la soluzione non è unica, è anche un bell'esempio di un problema di grafico naturale (o addirittura pratico), che ora si è dimostrato essere in RP, ma non è noto per essere in P.

— Andras Farago

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Al di fuori della teoria della complessità e dell'analisi degli algoritmi, il presupposto che ci possa essere solo una soluzione costituisce la base per alcune delle regole standard utilizzate per dedurre la soluzione nei puzzle di Sudoku. Queste regole generalmente implicano la ricerca di modi in cui parti del puzzle potrebbero essere in grado di avere due o più soluzioni che non interagiscono con il resto del puzzle. Ciò non può accadere nella soluzione reale, quindi se viene trovato un modello che minaccia di causare ciò, allora deve essere rotto, consentendo al risolutore di dedurre i vincoli su come può essere la soluzione effettiva. Vedi http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp per alcuni esempi di regole di detrazione basate sull'unicità.

— David Eppstein
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Menzionando un altro risultato di Björklund, se si è certi che ci sia al massimo un ciclo hamiltoniano in un grafico, è possibile decidere se un grafico è hamiltoniano più veloce di quanto si possa in generale. $G$

Il presupposto di unicità significa che la parità del numero di prosciutto. percorsi è uguale a decidere se il grafico è hamiltoniano.

$O(1.619^n)$ $O^*(1.657^n)$ $O(n^22^n)$

— RB
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