Distinguere tra due monete


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È noto che la complessità di distinguere una moneta distorta da da una buona è . Ci sono risultati per distinguere una moneta da una moneta ? Vedo che per il caso speciale di , la complessità sarà . Ho la sensazione che la complessità dipenderà dal fatto che sia dell'ordine di , ma non posso dimostrarlo così rigorosamente. Qualche suggerimento / riferimento?θ ( ϵ - 2 ) p p + ϵ p = 0 ϵ - 1 p ϵϵθ(ϵ2)pp+ϵp=0ϵ1pϵ

Risposte:


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Ti suggerisco di utilizzare il framework trovato nel seguente documento:

Fino a che punto possiamo andare oltre la crittoanalisi lineare? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

Il risultato cruciale dice che hai bisogno di , dove D ( D 0n1/D(D0||D1) è la distanza di Kullback-Leibler tra le due distribuzioni D 0 e D 1 . Espandendo la definizione della distanza KL, vediamo nel tuo casoD(D0||D1)D0D1

D(D0||D1)=plogpp+ϵ+(1p)log1p1pϵ,

con la convenzione che .0log0p=0

Quando , troviamo D ( D 0pϵ . Quindi, quando p ϵ , troviamo che hai bisogno di n p ( 1 - p ) / ϵ 2 gettoni. Quando p = 0 , troviamo D ( D 0D(D0||D1)ϵ2/(p(1p))pϵnp(1p)/ϵ2p=0 , quindi hai bisogno di n 1 / ϵ gettoni. Pertanto, questa formula è coerente con i casi speciali che già conosci ... ma si generalizza a tutti n , ϵ .D(D0||D1)=log(1ϵ)ϵn1/ϵn,ϵ

Per giustificazione, vedere il documento.


pϵnBinomial(n,p)Binomial(n,p+ϵ)n

p5/n

In particular, this comes down to distinguishing N(μ0,σ02) from N(μ1,σ12) where μ0=pn, μ1=p+ϵ)n, σ02=p(1p)n, σ12=(p+ϵ)(1pϵ)n. You'll find that the probability of error in the optimal distinguisher is erfc(z) where z=(μ1μ0)/(σ0+σ1)ϵn/2p(1p). Thus, we need z1 to distinguish with constant success probability. This amounts to the condition that n2p(1p)/ϵ2 (up to a constant factor)... when pϵ.

For the general case... see the paper.

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