Distinguere tra due monete

È noto che la complessità di distinguere una moneta distorta da da una buona è . Ci sono risultati per distinguere una moneta da una moneta ? Vedo che per il caso speciale di , la complessità sarà . Ho la sensazione che la complessità dipenderà dal fatto che sia dell'ordine di , ma non posso dimostrarlo così rigorosamente. Qualche suggerimento / riferimento?θ ( ϵ - 2 ) p p + ϵ p = 0 ϵ - 1 p $\epsilon$$\theta(\epsilon^{-2})$$p$$p+\epsilon$$p=0$$\epsilon^{-1}$$p$$\epsilon$

Ti suggerisco di utilizzare il framework trovato nel seguente documento:

Fino a che punto possiamo andare oltre la crittoanalisi lineare? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

Il risultato cruciale dice che hai bisogno di , dove D ( D $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ è la distanza di Kullback-Leibler tra le due distribuzioni D 0 e D 1 . Espandendo la definizione della distanza KL, vediamo nel tuo caso$D(D_0 \,||\, D_1)$$D_0$$D_1$

$$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$$

con la convenzione che .$0 \log \frac0p = 0$

Quando , troviamo D ( D $p \gg \epsilon$ . Quindi, quando p ≫ ϵ , troviamo che hai bisogno di n ∼ p ( 1 - p ) / ϵ 2 gettoni. Quando p = 0 , troviamo D ( D $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$$p \gg \epsilon$$n \sim p(1-p)/\epsilon^2$$p = 0$ , quindi hai bisogno di n ∼ 1 / ϵ gettoni. Pertanto, questa formula è coerente con i casi speciali che già conosci ... ma si generalizza a tutti n , ϵ .$D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$$n \sim 1/\epsilon$$n,\epsilon$

Per giustificazione, vedere il documento.

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$p \gg \epsilon$$n$$\text{Binomial}(n,p)$$\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$$n$

$p \ge 5/n$

In particular, this comes down to distinguishing $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$ from $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ where $\mu_0 = pn$, $\mu_1 = p+\epsilon)n$, $\sigma_0^2 = p(1-p)n$, $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$. You'll find that the probability of error in the optimal distinguisher is $\text{erfc}(z)$ where $z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$. Thus, we need $z \sim 1$ to distinguish with constant success probability. This amounts to the condition that $n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$ (up to a constant factor)... when $p \gg \epsilon$.

For the general case... see the paper.