Riduzione di P vs. NP a SAT

La seguente domanda utilizza idee tratte dalla crittografia applicata alla teoria della complessità. Detto questo, è una domanda puramente teorica di complessità e non è richiesta alcuna conoscenza crittografica per rispondere.

Scrivo deliberatamente questa domanda in modo molto informale. In mancanza di dettagli, è possibile che sia indicato in modo errato. Sentiti libero di sottolineare le correzioni nelle tue risposte.

Nel seguente papaper:
Cryptography Nonmalleable, Danny Dolev, Cynthia Dwork e Moni Naor, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
gli autori scrivono:

Supponiamo che la ricercatrice A abbia ottenuto la prova che P ≠ NP e desidera comunicare questo fatto al professor B. Supponiamo che, per proteggersi, A provi la sua richiesta a B in modo a conoscenza zero ...

Esistono diversi problemi standard NP-completi, come soddisfacibilità (SAT), Graph-Hamiltonicity e Graph-3-Colorability (G3C), per i quali esistono prove a conoscenza zero. Il modo standard per dimostrare qualsiasi teorema NP è innanzitutto ridurlo a un'istanza dei suddetti problemi NP completi, quindi condurre la prova a conoscenza zero.

Questa domanda riguarda tale riduzione. Supponiamo che il P vs. NP sia regolato in uno dei seguenti modi:

P = NP
P ≠ NP
P vs. NP è indipendente dalla teoria dell'insieme assiomatico standard.

Lascia che σ denoti la prova. Quindi, P vs. NP è in un linguaggio NP (poiché esiste una breve prova per questo). La riduzione dal teorema (diciamo, P ≠ NP) al problema NP-completo (diciamo SAT) è indipendente da σ. Questo è:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Questo va ben oltre la mia immaginazione! Sembra che, anche se ci viene data la prova σ, è improbabile che possiamo costruire tale formula ϕ.

Qualcuno potrebbe far luce su questo?

Inoltre, sia L un linguaggio NP in cui si trova P vs. NP . Il linguaggio è costituito da infiniti teoremi come P vs. NP , di dimensioni arbitrarie.

Cos'è un candidato per L?
L può essere NP-completo?

— MS Dousti
fonte

Non capisco questa parte: "Sia σ denotare la dimostrazione. Quindi, P vs. NP è in NP (poiché esiste una breve dimostrazione per esso). La riduzione dal teorema (diciamo, P ≠ NP) a NP -il problema completo (diciamo SAT) è indipendente da σ. Cioè: esiste una formula ϕ che è soddisfacente se e solo se P ≠ NP. ". Potresti spiegarlo un po 'di più? Non ha senso per me che "P vs NP sia in NP", anche se lo cambi in "c'è una prova della lunghezza al massimo n nella teoria T per P \ neq NP". O esiste una più piccola n tale esiste una prova di quella dimensione per la domanda o non esiste tale prova.

— Kaveh,

[continua] Se non c'è nessuno che la funzione che rifiuta sempre risponda alla domanda, e nell'altro caso la funzione che accetta qualsiasi numero maggiore della lunghezza della prova più piccola e rifiuta qualsiasi cosa inferiore a quella risolverà la domanda. La domanda che dato , e , ha una prova della dimensione n in è NP, ma se si corregge non ha molto senso.

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

— Kaveh,

Si noti inoltre che la domanda che "data un'istruzione (come ), è dimostrabile in una teoria del primo ordine ?" non è decidibile in generale.

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$

— Kaveh,

@Kaveh: chiarimento aggiunto.

— MS Dousti,

alcune idee interessanti ma non ha senso dire che "una prova è in NP" o che "esiste una prova breve". vale a dire che potrebbe esserci un metodo per creare tali parallelismi, ma dovrebbe essere definito in modo più formale. il più vicino a queste idee, a quanto pare, sarebbe il quadro delle prove naturali razborov / rudich.

— vzn

Risposte:

Il modo di vedere testare un'istruzione matematica (ad esempio, una risoluzione di P vs NP) come una domanda del modulo "è formula .. soddisfacente" è il seguente:

Risolvi un sistema di assioma. Data una stringa di lunghezza n, se la stringa è una prova per l'affermazione matematica nel sistema assioma, è qualcosa che si può definire in modo semplice: la stringa dovrebbe essere costituita da proposizioni. Ogni proposizione dovrebbe essere un assioma, o dovrebbe seguire dalle proposizioni precedenti da una delle regole di inferenza.

Non è un problema definire una formula booleana che verifichi tutto ciò. Tutto quello che dovresti sapere è la lunghezza n della prova!

— Dana Moshkovitz
fonte

P vs. NP è in NP (poiché esiste una breve prova per questo)

Non ha molto senso per me. NP è una classe di complessità per problemi di decisione che hanno istanze arbitrariamente grandi e P vs. NP non li ha. Da quello che dici dopo:

lascia che L sia un linguaggio NP in cui si trova P vs. NP.

potresti invece voler dire che P vs. NP è un'istanza di un problema NP; ma certo che lo è! È anche un'istanza di un numero infinito di problemi P, DTIME (n), ecc. In particolare, qui ci sono due candidati DTIME (1) per L, precisamente uno dei quali è corretto: sempre ritorno true; o ritorna sempre false.

— Alexey Romanov
fonte

Leggere di nuovo la nota a margine all'inizio della domanda. Lo stavo mettendo in modo informale e questo porta alla tua confusione. Per formalizzare, si deve considerare una generalizzazione del teorema "P vs. NP". Per infinitamente molti n, la generalizzazione assume un teorema di lunghezza n. I teoremi danno origine ad un linguaggio L, che non può essere deciso in DTIME (1).

— MS Dousti,

Quindi una breve prova / disproof di "P vs. NP" è solo un'istanza di "P vs. NP" generalizzata (forse una facile?), E non ne consegue che GPvNP sia in NP.

— Alexey Romanov,

Downvoted: capisco l'obiezione al modo in cui la prima frase citata è formulata, poiché i membri di NP sono insiemi e "P vs. NP" non è un insieme. Tuttavia, sulla seconda obiezione, qualsiasi "problema NP" è un problema decisionale che può sempre essere legittimamente formulato nel decidere se una stringa è in una lingua; Non vedo nulla di sbagliato nella sua definizione di L. Inoltre, l'appello a linguaggi banali, sempre veri o sempre falsi DTIME (1) ignora il punto: se conosciamo già TUTTE le affermazioni vere, presumibilmente costruiamo uno sguardo- tabella per la macchina di Turing per accedere a tempo costante.

— Daniel Apon,

[Proseguendo] Ma supponendo che L sia un linguaggio corretto (cioè un insieme infinito), allora stai assumendo una tabella infinitamente grande di "affermazioni vere" a cui accedere, che sembra infrangere tutti i tipi di regole. O più al punto: perché il tuo argomento per DTIME (1) non si generalizza in QUALSIASI linguaggio, non solo in quello strano che stiamo prendendo in considerazione ora?

— Daniel Apon,

Grazie a tutti. Si noti che una delle domande che ho posto riguardava la lingua L in cui "P vs. NP" si adattava. Cioè, "P vs. NP" è solo un'istanza di tale linguaggio. Il linguaggio generalizza l'istanza a infiniti teoremi. È altamente improbabile .

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$

— MS Dousti,