Perché i grafici di Ramanujan prendono il nome da Ramanujan?

Di recente ho insegnato agli espansori e introdotto la nozione di grafici Ramanujan. Michael Forbes ha chiesto perché sono chiamati in questo modo, e ho dovuto ammettere che non lo so. Chiunque?

Per aggiungere un po 'di contenuto alle risposte qui, spiegherò brevemente qual è la congettura di Ramanujan.

Prima di tutto, la congettura di Ramanujan è in realtà un teorema, dimostrato da Eichler e Igusa. Ecco un modo per dirlo. Sia $r_m(n)$ il numero di soluzioni integrali all'equazione quadratica $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Se $m=1$ , quella $r_m(n) > 0$$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips e Sarnak hanno costruito i loro espansori sulla base di questo risultato. Non ho familiarità con i dettagli della loro analisi ma l'idea di base, credo, è quella di costruire un grafico Cayley di per un primo che , usando generatori determinati da ogni somma di -composizione di quattro quadrati di p , dove p è un residuo quadratico modulo q . Quindi, mettono in relazione gli autovalori di questo grafico di Cayley con r_ {2q} (p ^ k) per i poteri interi k . $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

Un riferimento, diverso dalla stessa carta Lubotzky-Phillips-Sarnak, è la breve descrizione di Noga Alon in Strumenti dell'algebra superiore .

Wikipedia fornisce questa risposta piuttosto rapidamente. citando

Le costruzioni dei grafici di Ramanujan sono spesso algebriche. Lubotzky, Phillips e Sarnak mostrano come costruire una famiglia infinita di grafici Ramanujan , ogni volta che è un numero primo. La loro prova usa la congettura di Ramanujan , che ha portato al nome dei grafici di Ramanujan.$p+1$$p = 1 \mod 4$

L'articolo a cui si fa riferimento è rappresentato dai grafici Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips e P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Numero 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.