Versione moltiplicativa di 3-SUM

Cosa si sa della complessità temporale del seguente problema, che chiamiamo 3-MUL?

Dato un insieme di numeri interi, ci sono elementi tali che ?$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

Questo problema è simile al problema 3-SUM, che chiede se ci sono tre elementi tali che (o equivalentemente ). 3-SUM è ipotizzato per richiedere un tempo approssimativamente quadratico in . Esiste una congettura simile per 3-MUL? In particolare, 3-MUL è noto per essere 3-SUM difficile?$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

Nota, la complessità temporale dovrebbe applicarsi in un modello di calcolo "ragionevole". Ad esempio, potremmo ridurre da 3-SUM su un set a 3-MUL su set , dove . Quindi esiste una soluzione a 3-MUL, , se e solo se . Tuttavia, questa esplosione esponenziale dei numeri si ridimensiona molto male con vari modelli, come ad esempio il modello RAM.$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

La riduzione da SUM a 3 MUL funziona con una modifica standard minore. Supponiamo che i tuoi numeri interi originali fossero in { 1 , ... , M }. Dopo la trasformazione x → 2 x i nuovi numeri interi sono in { 2 , … , 2 M }. Ridurremo l'intervallo.$3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

Considera qualsiasi triplo di numeri interi nel nuovo set S ′ . Il numero di divisori primi di qualsiasi diverso da zero un b - c è < 2 M . Il numero di tali triple è n 3 . Quindi il numero di primi q che divide almeno una delle una b - c numeri non nulli è al massimo 2 M n 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Sia l'insieme dei primi 2 M ⋅ n 4 numeri primi. Il più grande di questi primi è di dimensioni al massimo O ( M n 4 log M n ) . Scegliere un numero primo casuale p ∈ P . Con alta probabilità p non dividerà nessuno dei diversi da zero a b - c , quindi possiamo rappresentare ciascuno a ∈ S ′ per il suo residuo, mod p , e se 3 MUL trova qualche a b = c in $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ , Con alta probabilità sarà corretto per l'istanza 3 SUMoriginale. Abbiamo ridotto l'intervallo dei numeri a { 0 , ... , O ( M n 4 log M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Questa è una riduzione delle dimensioni standard. Potresti essere in grado di fare meglio considerando il fatto che sono sempre differenze di due potenze di 2 ).$ab-c$$2$

Hai provato la riduzione dove M = max S - min S ? I risultati sono numeri reali, quindi dovresti arrotondare ad un certo numero di cifre. Per garantire che i numeri si sommino correttamente nonostante l'arrotondamento, potrebbe essere necessario aggiungere un po 'di rumore casuale.$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$