True Bit La complessità della moltiplicazione della matrice è

La moltiplicazione di matrici che utilizza la tecnica regolare (prodotto interno riga - colonna) accetta multiplucazioni e aggiunte di . Tuttavia, supponendo che le voci di dimensioni uguali (numero di bit in ciascuna voce di entrambe le matrici vengano moltiplicate) di bit di dimensione , l'operazione di addizione avviene effettivamente su bit .O ( n 3 ) m O ( n 3 n m ) = O ( n 4 m $O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

Quindi sembra che la vera complessità della moltiplicazione di matrici se misurata tramite la complessità dei bit dovrebbe essere .$O(n^{4})$

$(1)$ È corretto?

Supponendo che se si crea un algoritmo che riduce la complessità dei bit a anziché alle moltiplicazioni e le aggiunte totali, questo potrebbe essere un approccio più efficace rispetto a ridurre le moltiplicazioni e le aggiunte totali a come tentato da ricercatori come Coppersmith e Cohn.O ( n 2 + ϵ$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

$(2)$ È un argomento valido?

No, la complessità in bit della moltiplicazione delle matrici sulle voci -bit è , dove è l'esponente di moltiplicazione matriciale più noto. La moltiplicazione e l'aggiunta di numeri -bit possono essere eseguite in tempo . Moltiplicando due numeri -bit si ottiene un numero che non ha più di bit. Aggiungendo numeri di bit ciascuno, si ottiene un numero che non ha più di bit. (Pensaci: la somma è al massimo , quindi la rappresentazione dei bit non richiede più din ω ( log n ) O ( 1 ) ⋅ M ( log M ) O ( 1 ) ω < 2.4 M M ( log M ) 2 M 2 M n M M + log n + O ( 1 ) n 2 M log ( n 2 M ) + O ( 1 $M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$ bit.)

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