Complessità dell'algoritmo simplex

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Qual è il limite superiore dell'algoritmo simplex per trovare una soluzione a un programma lineare?

Come farei per trovare una prova per un caso del genere? Sembra che il caso peggiore sia se si deve visitare ciascun vertice che è . Tuttavia, in pratica l'algoritmo simplex funzionerà in modo significativamente più veloce di questo per problemi più standard. $O(2^n)$

Come posso ragionare sulla complessità media di un problema che viene risolto usando questo metodo?

Qualsiasi informazione o riferimento è molto apprezzato!

— shuttle87
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Nota che, come ha detto mashca in una risposta , in realtà non abbiamo "l'algoritmo simplex". Esistono molti algoritmi simplex diversi a seconda della scelta di una regola pivotante.

— Tsuyoshi Ito,

2

Un cubo nella dimensione

ha

vertici, quindi questo se un limite superiore per qualsiasi variante simplex su cubi (ad esempio, Klee-Minty). Tuttavia, ci sono poliedri in dimensione

con

sfaccettature, tra cui doppio politopi ciclici, con più di

vertici, quindi

non è immediatamente limite superiore della per il tempo di esecuzione del metodo simplex per matrici di vincolo quadrati in generale .

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— Rahul Savani,

72

L'algoritmo simplex infatti visite tutti $2^n$ vertici nel caso peggiore ( Klee & Minty 1972 ), e questo risulta essere vero per qualsiasi regola perno deterministica. Tuttavia, in un documento di riferimento che utilizza un'analisi smussata, Spielman e Teng (2001) hanno dimostrato che quando gli input dell'algoritmo sono leggermente perturbati in modo casuale, il tempo di esecuzione previsto dell'algoritmo simplex è polinomiale per qualsiasi input - questo sostanzialmente dice che per qualsiasi problema esiste un "vicino" che il metodo simplex risolverà in modo efficiente, e copre praticamente ogni programma lineare del mondo reale che vorresti risolvere. Successivamente, sono stati introdotti Kelner e Spielman (2006) un algoritmo simplex randomizzato a tempo polinomiale che funziona davvero su qualsiasi input, anche su quelli cattivi per l'algoritmo simplex originale.

— Lev Reyzin
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Come ha detto Lev, nel peggiore dei casi l'algoritmo visita tutti i vertici $2^d$ dove $d$ è il numero di variabili. Tuttavia, le prestazioni dell'algoritmo simplex possono anche dipendere in larga misura dalla specifica regola pivot utilizzata. Per quanto ne so, è ancora una domanda aperta se esiste una regola pivot deterministica specifica con tempo di esecuzione nel caso peggiore sub-esponenziale. Molti candidati sono stati esclusi da risultati con limiti inferiori. Di recente, Friedmann, Hansen e Zwick hanno anche mostrato i primi limiti inferiori non polinomiali per alcune regole pivot casuali naturali con alcune correzioni fornite in seguito .

$n$ $n^{86}$

— Matthias
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4

e come ha sottolineato JeffE in una domanda diversa ( cstheory.stackexchange.com/questions/2149/… ), l'attuale miglior metodo subesponenziale è una sorta di duplice simplex.

— Suresh Venkat,

Il link al documento Vershynin è morto.

— Kutschkem,

8

Per ottenere informazioni sull'analisi del caso peggiore e del caso medio del metodo simplex, è necessario leggere "Analisi smussata: perché l'algoritmo simplex richiede solitamente tempo polinomiale". di Spielman e Teng.

— Christina Boucher
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3

Un buon riferimento al motivo per cui simplex non funziona nel tempo polinomiale, piuttosto che perché sia esponenziale è Papadimitriou e Steiglitz Combinatorial Optimization, Sezione 8.6, in cui dimostrano che Simplex non è un algoritmo polinomiale.

— hyperboreean
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1

Nel 2019, il solutore LP di opensource GLPK risolve il problema del cubo di Klee-Minty $D=200$ in meno di 100 millisecondi, su un iMac da 2,7 GHz:

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

Qualcuno può suggerire altri modi per costruire problemi difficili per il metodo simplex, lento ma non associato alla memoria?

Aggiunto: i quadrati latini noti anche come matrici di permutazione 3d sembrano avere molti vertici - quanti?
_{Teoria e pratica sono più vicine in teoria che in pratica.}

— Denis
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-1

L' algoritmo Simplex originale può divergere; scorre su alcuni casi. Quindi, nessun limite generale. Altre risposte forniscono risposte per le varie modifiche dell'algoritmo Simplex.

— MdAyq7
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