Giochi arbitrati con monete semi-private non correlate

Ero (e sono ancora) molto interessato alla risposta a questa domanda, perché questa è una variazione interessante sulla complessità dei giochi che non è stata risolta, quindi ho offerto una generosità. Pensavo che la domanda originale fosse molto probabilmente troppo difficile, quindi ho pubblicato tre domande correlate che sarebbero anche degne della generosità. Nessuno ha inviato alcuna risposta prima della scadenza della taglia. In seguito sono stato in grado di rispondere a due delle domande correlate (domande 3 e 4, discusse sotto il mio post originale), dimostrando che l'approssimazione del valore dei giochi arbitrati con monete semi-private correlate (definite di seguito) era EXPTIME-complete. La domanda originale è ancora senza risposta. Sarei anche interessato a qualsiasi risultato che inserisca giochi correlati tra PSPACE ed EXPTIME in interessanti classi di complessità.

POSTO ORIGINALE:

Questa domanda è stata ispirata dalla discussione sulla domanda esadecimale di Itai . Un gioco arbitrato è un gioco in cui due giocatori computazionalmente illimitati giocano comunicando attraverso un verificatore del tempo polinomiale che può lanciare monete private (quindi il numero di turni e la quantità di comunicazione è anche limitato nel tempo polinomiale). Alla fine della partita, l'arbitro esegue un algoritmo in P per determinare chi vince. Determinare chi vince un gioco del genere (anche approssimativamente) è EXPTIME completo. Se disponi di monete pubbliche e comunicazioni pubbliche, tali giochi sono in PSPACE. ( Vedi Feige e Killian, "Making Short Games" ). La mia domanda riguarda il confine tra questi due risultati.

• Domanda: Supponi di avere due giocatori non legati al calcolo che giocano a una partita di lunghezza polinomiale. Il ruolo dell'arbitro è limitato a, prima di ogni mossa, dare a ciascun giocatore un numero di lanci di monete private (non correlate con quello dell'altro giocatore). Tutte le mosse del giocatore sono pubbliche e così viste dal suo avversario: l'unica informazione privata è il lancio delle monete. Alla fine del gioco, vengono rivelati tutti i lanci di monete private e l'arbitro polifunzionale usa questi lanci di monete e le mosse del giocatore per decidere chi vince.

  In base al risultato dei giochi arbitrato, l'approssimazione della probabilità che il primo giocatore vinca è EXPTIME, ed è anche chiaramente difficile da PSPACE. Quale (se uno dei due) è? Si sa qualcosa di questo problema?

Nota che i giocatori potrebbero dover usare strategie miste, dato che puoi giocare a matrici a somma zero (a la von Neumann) in questo modo.

MATERIALE AGGIUNTO:

$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• $\subseteq$$\subseteq$

• Domanda 3: Sospetto fortemente anche che la classe RGCSP (Refereed Games with Correlated Semiprivate Coins) sia EXPTIME completa, e sono anche disposto a dare la grazia a qualcuno che lo dimostra. In RGCSP, al primo passo, l'arbitro fornisce ai due giocatori variabili casuali correlate (ad esempio, potrebbe dare al primo giocatore un punto su un grande piano proiettivo e al secondo giocatore una linea contenente questo punto). Dopo questo, per un numero polinomiale di round i due giocatori si alternano inviandosi messaggi pubblici di dimensioni polivalenti. Dopo che il gioco è stato giocato, l'arbitro poly-time decide chi ha vinto. Qual è la complessità dell'approssimazione della probabilità di vincita per il giocatore 1?

• Domanda 4: Infine, ho una domanda che potrebbe davvero riguardare la crittografia e le distribuzioni di probabilità: dare la possibilità di eseguire il trasferimento ignaro a due giocatori in un gioco arbitrato con monete semi-private non correlate consente loro di giocare un arbitrato arbitrario con monete correlate (o in alternativa, permette loro di giocare una partita determinando il vincitore del quale è EXPTIME-completo)?

Non posso rispondere alla mia domanda originale, ma posso rispondere alla domanda 3 (e 4), che ho aggiunto quando ho offerto una taglia perché pensavo che la domanda originale fosse probabilmente troppo difficile. In effetti, ho due prove della domanda 3.

$2/3$

======== Prova 1 ============

La prima prova utilizza il fatto che il trasferimento ignaro è universale per un calcolo sicuro a due parti. Pertanto, se i giocatori 1 e 2 possono eseguire un trasferimento ignaro, possono simulare un arbitro arbitrario in tempo polinomiale, in modo che possano essere applicati i risultati precedenti che le partite arbitrate sono EXPTIME complete.

$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$. P2 può quindi decodificare uno di questi, ma P1 non può dire quale P2 può decodificare. Questo è 1-2 trasferimento ignaro. (Ovviamente, l'arbitro deve anche dare ai giocatori ignari box di trasferimento diretti nell'altro modo, da P2 a P1.)

Quando ho posto per la prima volta la domanda 4, ero preoccupato che i risultati del calcolo sicuro a due parti non si applicavano a questo tipo di calcolo interattivo con un arbitro, ma in realtà è abbastanza facile dimostrare che lo fanno.

=========== Prova 2 ===========

$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$$Q_{t+1}$

La prima cosa che useremo è che, anche con monete casuali non correlate, l'arbitro può fare in modo che i giocatori 1 e 2 eseguano l'impegno bit, facendo loro XOR i dati che vogliono impegnare con le monete casuali. Quindi, possiamo parlare di P1 e P2 che mettono le cose in buste sigillate.

$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

$(p_i, \ell_i)$

$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$all'insieme di linee di P2. Lascia che ogni linea fittizia abbia due punti su di essa. Se P1 sembra dare il valore giusto per un punto fittizio su una linea e il valore sbagliato per l'altro punto fittizio, allora si è rivelato bugiardo, poiché P2 non ha modo di dare il valore per una linea che è corretto per uno dei due punti di P1 su di esso e non l'altro. Possiamo fare un trucco simile per far sì che P2 risponda in modo coerente. Quindi l'unica cosa rimasta è dimostrare che l'ultimo passo della dimostrazione di Feige-Kilian funziona ancora. Questo risulta essere semplice, anche se esaminare i dettagli renderebbe questa risposta molto più lunga.