cosa è facile per i grafici esclusi da minori?


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Il numero approssimativo di coloranti sembra essere facile su grafici esclusi da minori usando l' algoritmo di Jung / Shah. Quali sono altri esempi di problemi difficili per i grafici generali ma facili per i grafici esclusi da minori?

Aggiornamento 10/24 Sembra seguire i risultati di Grohe che la formula FPT da testare su grafici a larghezza limitata è FPT da testare su grafici esclusi minori. Ora la domanda è: come si collega alla trattabilità del conteggio di incarichi soddisfacenti di tale formula?

L'affermazione sopra è falsa. MSOL è FPT su grafici con larghezza dell'albero limitata, tuttavia 3-colorabilità è NP-completa su grafici planari che sono esclusi di minore entità.

Risposte:


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Il risultato più generale conosciuto è da Grohe. Nel luglio 2010 è stato presentato un riassunto:

  • Martin Grohe, Definibilità in virgola fissa e tempo polinomiale su grafici con minori esclusi , LICS 2010. ( PDF )

In breve, qualsiasi affermazione che è espressibile nella logica a punto fisso con il conteggio ha un algoritmo a tempo polinomiale su classi di grafici con almeno un minore escluso. (FP + C è una logica del primo ordine aumentata con un operatore a punto fisso e un predicato che fornisce la cardinalità di insiemi di vertici definibili). L'idea chiave è che l'esclusione di un minore consente ai grafici della classe di disporre di decomposizioni simili a tre alberi che sono definibili nella logica a punto fisso (senza conteggio).

Quindi una grande classe di risposte alla tua domanda può essere ottenuta considerando le proprietà che sono definibili in FP + C ma che sono difficili da contare.


Modifica: non sono sicuro che questo risponda effettivamente alla tua domanda, tanto meno per il tuo aggiornamento. Il puntatore e l'affermazione del risultato di Grohe sono corretti, ma non credo che il testo barrato sia pertinente per la tua domanda. (Grazie a Stephan Kreutzer per averlo sottolineato.) Potrebbe valere la pena chiarire: vuoi un problema di conteggio che è difficile in generale ma facile per le classi escluse da minori o un problema di decisione?


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Interessante ... Mi chiedo che aspetto abbia questa decomposizione ad albero per i grafici planari
Yaroslav Bulatov

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Un teorema utile che ho trovato è che la proprietà è espressibile in FP + C se è decidibile in tempo polinomiale sul grafico tw limitato. Ora la domanda è: in che modo la complessità dei problemi di decisione FP + C si collega alla complessità di analoghi problemi di conteggio?
Yaroslav Bulatov,

@Yaroslav: potresti fornire un riferimento per questo una volta che è stato redatto? Grazie.
gphilip,

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Lol, in realtà non l'ho scoperto, l'ho "trovato" a pagina 2 di "Logica, grafici e algoritmi" di Grohe
Yaroslav Bulatov,

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Una proprietà interessante delle famiglie di grappoli minori chiusi è che hanno limitato la degenerazione . Ciò significa che tutti i problemi che sono facili sui grafici della degenerazione limitata sono facili sui grafici di una famiglia chiusa.

Quindi, ad esempio, scoprire se un grafico contiene una cricca di dimensione k è di solito un problema difficile e gli algoritmi migliori sono come . Tuttavia, se sappiamo che la degenerazione è una costante, allora le k-cricche possono essere trovate nel tempo lineare, cioè nel tempo O (n). L'articolo di Wikipedia sul problema della cricca fornisce anche alcune informazioni su questo. (Il tempo di esecuzione preciso è simile a O ( k d ( G ) k n ) .) Questo algoritmo è di Chiba e Nishizeki .O(nK)O(kd(G)kn)

Altri esempi possono essere trovati in questa risposta di David Eppstein su MathOverflow a una domanda simile sui grafici con degenerazione limitata.


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Il mio articolo arxiv.org/abs/1006.5440 ha alcuni risultati più recenti sull'elenco delle cricche a bassa degenerazione, incluso il tempo di esecuzione leggermente migliore per elencare tutte le cricche massime. O(dn3d/3)
David Eppstein,

Non riesco a vedere quale sia una relazione tra grafici minori chiusi (la tua risposta) e grafici esclusi minori (domanda). Anche l'insieme di tutti i grafici completi è chiuso in modo minore, ma non hanno una degenerazione limitata.
Saeed,

Minor-closed = minore-escluso. Tutte le famiglie non banali di grappoli minori hanno limitato la degenerazione. Avrei dovuto aggiungere "non banale" alla mia affermazione originale.
Robin Kothari,

Prima di tutto minore chiuso! = Escluso minore (invece escluso minore minore chiuso), altrimenti è possibile fornire molti nuovi algoritmi di approssimazione e parametrizzati per molte classi di grafici densi. Inoltre, quali sono i grafici chiusi minori non banali? ad esempio i grafici della larghezza degli alberi al massimo f (| G |) sono banali o non banali? o classe di grafici densi (che sono minori chiusi e ben quasi ordinati), sono banali minori chiusi o non banali? La tua definizione non è chiara e il lettore non può indovinare cosa hai in mente (e alcune parti delle tue definizioni sono sbagliate come ho affermato all'inizio).
Saeed,

Posso dirti cosa intendo per famiglia di grafi minori. è un minore di G se H può essere ottenuto da G eliminando i bordi, eliminando vertici isolati o contorcendo i bordi. Una famiglia di grafici è un insieme di grafici non marcati senza etichetta F (generalmente un insieme infinito). F è una famiglia minore chiusa se per ogni G in F , tutti i minori di G sono in F . Una famiglia non è banale se non è l'insieme di tutti i grafici. I grafici della larghezza dell'albero k (per la costante k ) sono chiusi in modo minore ma i grafici della larghezza dell'albero f ( | GHsolHsolFFsolFsolFKK non sono generalmente chiusi in misura minore. Ecco come lo capisco. Potrei sbagliarmi, ovviamente. f(|sol|)
Robin Kothari,

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Come supplemento, un'altra proprietà utile per gli algoritmi sui grafici esclusi minori è che questi grafici hanno piccoli separatori . Più precisamente, grazie a

Un algoritmo di tempo lineare per trovare un separatore in un grafico che esclude un minore , Bruce Reed e David R. Wood, ACM Transactions on Algorithms, 2009,

v'è un algoritmo di tempo lineare per trovare un separatore di dimensione , o un O ( n 3 / 2 + m ) algoritmo tempo per trovare un separatore di dimensione O ( n 1 / 2 ) .O(n2/3)O(n3/2+m)O(n1/2)

I separatori sono utili per le tecniche di programmazione dinamica e molti problemi NP-completi hanno algoritmi veloci con un buon rapporto di approssimazione, ad esempio la soluzione rientra in un fattore costante di quello ottimale, o addirittura in un PTAS. I grafici planari e, in generale, i grafici di genere limitati sono buoni punti di partenza quando si tenta di risolvere problemi su grafici esclusi di minore entità.


qualche idea se i separatori aiutano a contare il numero di coloranti corretti?
Yaroslav Bulatov,

1
non proprio, forse il documento citato da Ian aiuta meglio. Un'estensione del risultato è in "Algoritmi di approssimazione tramite decomposizione della contrazione" degli stessi autori in SODA '07.
Hsien-Chih Chang 張顯 之

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O(1)

Teoria minore del grafico algoritmico: decomposizione, approssimazione e colorazione di Demaine, Hajiaghayi e Kawarabayashi

Questo documento fornisce una versione algoritmica di una certa decomposizione (alquanto complessa da spiegare) per i grafici dei minori esclusi esclusi garantiti dal teorema di Robertson e Seymour, che fornisce una serie di questi risultati di approssimazione migliorati. Controlla anche i riferimenti in esso.


Grazie, è piuttosto affascinante ... Ho trovato una descrizione più accessibile dell'algoritmo di decomposizione in "Logica, grafici e algoritmi" di Grohe
Yaroslav Bulatov,

0

K5K3,3 minori liberi), la durezza NP sui grafici planari non può concludere che è difficile anche per altri grafici liberi minori.

HH 1 ].

Kt(t-1)Kt(t-1)t-2

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