cosa è facile per i grafici esclusi da minori?

Il numero approssimativo di coloranti sembra essere facile su grafici esclusi da minori usando l' algoritmo di Jung / Shah. Quali sono altri esempi di problemi difficili per i grafici generali ma facili per i grafici esclusi da minori?

Aggiornamento 10/24 Sembra seguire i risultati di Grohe che la formula FPT da testare su grafici a larghezza limitata è FPT da testare su grafici esclusi minori. Ora la domanda è: come si collega alla trattabilità del conteggio di incarichi soddisfacenti di tale formula?

L'affermazione sopra è falsa. MSOL è FPT su grafici con larghezza dell'albero limitata, tuttavia 3-colorabilità è NP-completa su grafici planari che sono esclusi di minore entità.

Il risultato più generale conosciuto è da Grohe. Nel luglio 2010 è stato presentato un riassunto:

• Martin Grohe, Definibilità in virgola fissa e tempo polinomiale su grafici con minori esclusi , LICS 2010. ( PDF )

In breve, qualsiasi affermazione che è espressibile nella logica a punto fisso con il conteggio ha un algoritmo a tempo polinomiale su classi di grafici con almeno un minore escluso. (FP + C è una logica del primo ordine aumentata con un operatore a punto fisso e un predicato che fornisce la cardinalità di insiemi di vertici definibili). L'idea chiave è che l'esclusione di un minore consente ai grafici della classe di disporre di decomposizioni simili a tre alberi che sono definibili nella logica a punto fisso (senza conteggio).

Quindi una grande classe di risposte alla tua domanda può essere ottenuta considerando le proprietà che sono definibili in FP + C ma che sono difficili da contare.

Modifica: non sono sicuro che questo risponda effettivamente alla tua domanda, tanto meno per il tuo aggiornamento. Il puntatore e l'affermazione del risultato di Grohe sono corretti, ma non credo che il testo barrato sia pertinente per la tua domanda. (Grazie a Stephan Kreutzer per averlo sottolineato.) Potrebbe valere la pena chiarire: vuoi un problema di conteggio che è difficile in generale ma facile per le classi escluse da minori o un problema di decisione?

Una proprietà interessante delle famiglie di grappoli minori chiusi è che hanno limitato la degenerazione . Ciò significa che tutti i problemi che sono facili sui grafici della degenerazione limitata sono facili sui grafici di una famiglia chiusa.

Quindi, ad esempio, scoprire se un grafico contiene una cricca di dimensione k è di solito un problema difficile e gli algoritmi migliori sono come . Tuttavia, se sappiamo che la degenerazione è una costante, allora le k-cricche possono essere trovate nel tempo lineare, cioè nel tempo O (n). L'articolo di Wikipedia sul problema della cricca fornisce anche alcune informazioni su questo. (Il tempo di esecuzione preciso è simile a O ( k d ( G ) k n ) .) Questo algoritmo è di Chiba e Nishizeki .$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

Altri esempi possono essere trovati in questa risposta di David Eppstein su MathOverflow a una domanda simile sui grafici con degenerazione limitata.

Come supplemento, un'altra proprietà utile per gli algoritmi sui grafici esclusi minori è che questi grafici hanno piccoli separatori . Più precisamente, grazie a

Un algoritmo di tempo lineare per trovare un separatore in un grafico che esclude un minore , Bruce Reed e David R. Wood, ACM Transactions on Algorithms, 2009,

v'è un algoritmo di tempo lineare per trovare un separatore di dimensione , o un O ( n 3 / 2 + m ) algoritmo tempo per trovare un separatore di dimensione O ( n 1 / 2 ) .$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

I separatori sono utili per le tecniche di programmazione dinamica e molti problemi NP-completi hanno algoritmi veloci con un buon rapporto di approssimazione, ad esempio la soluzione rientra in un fattore costante di quello ottimale, o addirittura in un PTAS. I grafici planari e, in generale, i grafici di genere limitati sono buoni punti di partenza quando si tenta di risolvere problemi su grafici esclusi di minore entità.

$O(1)$

Teoria minore del grafico algoritmico: decomposizione, approssimazione e colorazione di Demaine, Hajiaghayi e Kawarabayashi

Questo documento fornisce una versione algoritmica di una certa decomposizione (alquanto complessa da spiegare) per i grafici dei minori esclusi esclusi garantiti dal teorema di Robertson e Seymour, che fornisce una serie di questi risultati di approssimazione migliorati. Controlla anche i riferimenti in esso.

$K_5$$K_{3,3}$ minori liberi), la durezza NP sui grafici planari non può concludere che è difficile anche per altri grafici liberi minori.

$H$$H$ 1 ].

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$