Conteggio del numero di cicli hamiltoniani nei grafici cubici hamiltoniani?

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È -hard trovare un'approssimazione di fattore costante del ciclo più lungo nei grafici cubici di Hamilton. I grafici cubici hamiltoniani hanno almeno due cicli hamiltoniani. $NP$

Quali sono il limite superiore e il limite inferiore più noti sul numero di cicli Hamiltoniani nei grafici cubici Hamiltoniani? Dato un grafico cubico di Hamilton, Qual è la complessità di trovare il numero di cicli hamiltoniani? È # -hard? $P$

cc.complexity-theory counting-complexity

— Mohammad Al-Turkistany
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Il conteggio dei circuiti Hamiltoniani in un grafico Hamiltoniano 3 regolare è # P-completo, come segue.

Schizzo di prova . L'adesione a #P è banale, quindi mostreremo solo la # P-durezza.

La sezione 3 di Liśkiewicz, Ogihara e Toda [LOT03] mostra che il conteggio dei circuiti hamiltoniani in un grafico 3 regolare (e in effetti planare allo stesso tempo) è # P-completo. Inoltre, la loro riduzione da # 3SAT associa una formula 3CNF soddisfacente a grafici hamiltoniani. Pertanto, è possibile ridurre # 3SAT al conteggio dei circuiti Hamiltoniani in un grafico Hamiltoniano 3-regolare aggiungendo prima una soluzione banale a una determinata formula 3CNF e quindi riducendola al conteggio dei circuiti Hamiltoniani utilizzando la riduzione in [LOT03]. QED .

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara e Seinosuke Toda. La complessità del conteggio delle autoevitanti cammina nei sottografi di griglie e ipercubi bidimensionali. Theoretical Computer Science , 304 (1–3): 129–156, luglio 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

— Tsuyoshi Ito
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Bella risposta. Sei a conoscenza di limiti superiori o inferiori sul numero di cicli hamiltoniani nei grafici cubici hamiltoniani?

— Mohammad Al-Turkistany,

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@turkistany: puoi generare un grafico a 3 regolari con esponenzialmente molti circuiti hamiltoniani applicando la riduzione sopra a una formula 3CNF con esponenzialmente molti compiti soddisfacenti (vedi Corollario 6 di [LOT03] e la definizione di “ -riduzioni "nella Sezione 2.2), anche se sospetto che ci sia una prova diretta più semplice. Non conosco alcun limite inferiore ad eccezione di 2 (che hai già menzionato nella domanda) o qualsiasi prova che 2 sia ottimale.

\leq_{r-shift}^{p}

$\le^p_{\text{r-shift}}$

— Tsuyoshi Ito,

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Nel mio articolo "Il problema del venditore ambulante per i grafici cubici" ( J. Graph Algorithms and Applications 11 (1): 61-81, 2007 ) ho dimostrato un limite superiore di sul numero di cicli Hamiltoniani, congetturò che il limite potesse essere migliorato a e trovò una famiglia di grafici con esattamente che mostrava che, se fosse vero, il limite congetturato sarebbe stretto. Heidi Gebauer ("Sul numero di cicli di Hamilton nei grafici dei gradi limitati ", ANALCO 2008 ) ha migliorato il limite superiore a . $2^{3n/8}$ $2^{n/3}$ $2^{n/3}$ $1.276^n$

Se uno consente le multigrafi, un ciclo che si alterna tra legami singoli e doppi ha cicli Hamiltoniani , e questo è stretto. $2^{n/2}$

— David Eppstein
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Grazie David per la bella risposta, vorrei poter accettare più di una risposta.

— Mohammad Al-Turkistany,

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Alcuni grafici hanno esattamente tre circuiti hamiltoniani:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

Se uno inizia con il grafico piano del tetraedro, che contiene esattamente tre circuiti hamiltoniani, e crea un nuovo grafico planare a 3 collegamenti troncando un singolo vertice, si ottiene un nuovo grafico che ha esattamente tre circuiti hamiltoniani. Se si continua a troncare un vertice alla volta si ottiene una famiglia di grafici con esattamente tre circuiti hamiltoniani.

Commento aggiuntivo:

C'è stato anche qualche lavoro sulla questione di quali grafici diversi dai cicli hanno esattamente un circuito hamiltonion:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

Un bellissimo documento di indagine sui circuiti di hationtion in tipi speciali di grafici che ha una sezione che tratta di numeri di circuiti hamiltoniani e che corregge alcuni problemi con il documento sopra è:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf

— Joseph Malkevitch
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