Durezza di approssimazione - errore additivo

Esiste una ricca letteratura e almeno un ottimo libro che illustra la durezza nota dei risultati dell'approssimazione per problemi NP-difficili nel contesto dell'errore moltiplicativo (ad es. L'approssimazione 2 per la copertura dei vertici è ottimale assumendo UGC). Ciò include anche classi di complessità dell'approssimazione ben note come APX, PTAS e così via.

Cosa si sa quando si deve considerare l'errore additivo? Una ricerca in letteratura mostra alcuni risultati del tipo con limite superiore, in particolare per l'imballaggio del cestino (vedere ad esempio http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps ), ma c'è una classificazione di classe di complessità più completa o c'è un motivo per cui non è così interessante o pertinente?

Come ulteriore commento, per l'imballaggio del contenitore, ad esempio, non esiste alcun motivo teorico per cui non sia stato possibile trovare un algoritmo poli-tempo che si trova sempre a una distanza aggiuntiva dall'ottimale di 1 (anche se sto per essere corretto ). Un tale algoritmo collasserebbe le classi di complessità o avrebbe altri significativi effetti a catena teorici?

EDIT: La frase chiave che non ho usato è "classe di approssimazione asintotica" (grazie Oleksandr). Sembra che ci sia un po 'di lavoro in quest'area ma non ha ancora raggiunto lo stesso livello di maturità della teoria delle classi di approssimazione classiche.

La domanda è in qualche modo a risposta aperta, quindi non credo che si possa rispondere completamente. Questa è una risposta parziale.

Un'osservazione semplice è che molti problemi non sono interessanti se consideriamo l'approssimazione additiva. Ad esempio, tradizionalmente la funzione obiettivo del problema Max-3SAT è il numero di clausole soddisfatte. In questa formulazione, approssimare Max-3SAT all'interno di un errore additivo O (1) equivale a risolvere esattamente Max-3SAT, semplicemente perché la funzione obiettivo può essere ridimensionata copiando più volte la formula di input. L'approssimazione moltiplicativa è molto più essenziale per i problemi di questo tipo.

[Modifica: nella versione precedente, avevo usato il set indipendente come esempio nel paragrafo precedente, ma l'ho cambiato in Max-3SAT perché il set indipendente non è un buon esempio per illustrare la differenza tra approssimazione moltiplicativa e approssimazione additiva; l'approssimazione del set indipendente anche all'interno di un fattore moltiplicativo O (1) è anch'essa NP-difficile. In effetti, un'approossimabilità molto più forte per il set indipendente è mostrata da Håstad [Has99].]

Ma, come hai detto, l'approssimazione additiva è interessante per i problemi come l'imballaggio del cestino, in cui non possiamo ridimensionare la funzione obiettivo. Inoltre, possiamo spesso riformulare un problema in modo che l'approssimazione additiva diventi interessante.

Ad esempio, se la funzione obiettivo di Max-3SAT viene ridefinita come rapporto tra il numero di clausole soddisfatte e il numero totale di clausole (come talvolta viene fatto), l'approssimazione additiva diventa interessante. In questa impostazione, l'approssimazione additiva non è più difficile dell'approssimazione moltiplicativa, nel senso che l'approssimabilità all'interno di un fattore moltiplicativo 1− ε (0 < ε <1) implica l'approssimabilità all'interno di un errore additivo ε , perché il valore ottimale è sempre al massimo 1.

Un fatto interessante (che sembra essere sfortunatamente spesso trascurato) è che molti risultati di inapprossimabilità dimostrano la completezza NP di alcuni problemi di gapche non deriva dalla mera durezza NP dell'approssimazione moltiplicativa (vedi anche Petrank [Pet94] e Goldreich [Gol05, Sezione 3]). Continuando l'esempio di Max-3SAT, è noto a Håstad [Has01] che è difficile NP approssimare Max-3SAT all'interno di un fattore moltiplicativo costante migliore di 7/8. Questo risultato da solo non sembra implicare che NP sia difficile approssimare la versione del rapporto di Max-3SAT all'interno di un errore additivo costante oltre una certa soglia. Tuttavia, ciò che Håstad [Has01] dimostra è più forte della semplice inapprossimabilità moltiplicativa: dimostra che il seguente problema di promessa è NP-completo per ogni costante 7/8 < s <1:

Gap-3SAT _s
Instance : formula φ Un CNF dove ogni clausola comporta esattamente tre variabili distinte.
Sì, promessa : φ è soddisfacente.
No-promessa : nessuna verità assegnazione soddisfa più di s frazione delle clausole di φ.

Da questo, possiamo concludere che è NP-difficile approssimare la versione del rapporto di Max-3SAT con un errore additivo migliore di 1/8. D'altra parte, la consueta, casuale, semplice assegnazione casuale fornisce approssimazione all'interno di un errore additivo 1/8. Pertanto, il risultato di Håstad [Has01] non solo fornisce l'ineguagliabilità moltiplicativa ottimale per questo problema, ma anche l'inapprossimabilità additiva ottimale. Immagino che ci siano molti risultati additivi di inapprossimabilità come questo che non compaiono esplicitamente in letteratura.

Riferimenti

[Gol05] Oded Goldreich. Su problemi di promessa (un sondaggio in memoria di Shimon Even [1935-2004]). Colloquio elettronico sulla complessità computazionale , rapporto TR05-018, febbraio 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] Johan Håstad. La cricca è difficile da approssimare in n ^{1− ε} . Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, marzo 1999. http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] Johan Håstad. Alcuni risultati ottimali di inapprossimabilità. Journal of the ACM , 48 (4): 798–859, luglio 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Erez Petrank. La durezza dell'approssimazione: posizione del gap. Complessità computazionale , 4 (2): 133-157, aprile 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286

Questa è una risposta parziale

$ABS$$ABS$

$NP$

-Ogni grafica cubica è colorabile in quadricromia nel tempo polinomiale, ma la colorazione del bordo 3 è NP-dura.

$ABS$$P=NP$

C'è un recente lavoro sulle classi di approssimazione asintotica e il loro confronto con le controparti classiche.

Erik Jan van Leeuwen e Jan van Leeuwen. Struttura dell'approssimazione del tempo polinomiale . Rapporto tecnico UU-CS-2009-034. Dicembre 2009.