Il problema del riconoscimento a 3 sfere è NP-completo?

È noto che determinare se una data 3 varietà triangolata sia o meno una 3 sfera si trova in NP, tramite il lavoro di Saul Schleimer nel 2004: "Il riconoscimento della sfera si trova in NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Mi chiedo se questo è stato stabilito per essere NP-completo negli ultimi cinque o sei anni? Problemi analoghi, come il problema del genere a 3 nodi, sono stati mostrati NP-complete.

Se è NP-completo, allora non avresti dimostrato che nessun insieme di invarianti calcolabili (uniformemente) in tempo polinomiale di 3-varietà differenzia le 3-sfere dalle altre 3-varietà. Sarei molto sorpreso se questo è noto.

Solo per aggiungere alla risposta di Peter: il problema disgustoso per i nodi nella tre sfere è stato mostrato in NP da Hass, Lagarias e Pippenger. Ian Agol ha dimostrato che il problema disgustoso è in co-NP (ma vedi i suoi commenti su MathOverflow). Mi sembra, almeno per me, che il problema del riconoscimento delle tre sfere sia molto più simile allo sfinimento che al nodo del genere in tre varietà generali. (Perché è certificato dalla presenza di una superficie caratteristica di Eulero positiva.)

Quindi scommetterei che il riconoscimento a tre sfere è anche in co-NP. Un passo in questa direzione sarebbe quello di mostrare che il riconoscimento di collettori toroidali irriducibili si trova in NP, seguendo direttamente Agol. Un po 'più forte sarebbe quello di dimostrare che il riconoscimento molteplice di Haken risiede nella NP. È più difficile separare la tre sfera dalle collettori irriducibili e non toroidali. Ma forse la cosa da fare è usare la Geometrizzazione: se il collettore è chiuso, orientabile, irriducibile e atoroidale, ha una delle otto geometrie di Thurston. Forse è facile certificare tutte le varietà geometriche ma non iperboliche, per esempio tramite spaccature Heegaard quasi normali. (Sebbene i limiti di complessità di Hass, Lagarias e Pippenger dovrebbero essere sostituiti, in qualche modo.)

$M$

$M$$N$$N$$N$$M$

$M$

Questo documento mostra (anche se non l'ho verificato) che il riconoscimento a 3 sfere * è in coNP assumendo GRH:

Raphael Zentner. Le 3 sfere di omologia integra ammettono rappresentazioni irriducibili in$SL(2,\mathbb{C})$. arXiv: 1605.08530 [math.GT], 2016

(Di possibile interesse: un articolo di follow-up arXiv: 1610.04092 [math.GT] lo utilizza per sviluppare un algoritmo utilizzando le basi di Grobner.)

* Tecnicamente si afferma che riconoscere la 3 sfera tra le 3 sfere di omologia intera è in coNP assumendo GRH. Non sono un esperto in questo settore, ma mi sembra chiaro che si può calcolare l'omologia dei numeri interi data una triangolazione in poli-tempo, e se l'omologia dei numeri interi non corrisponde a quella di una 3 sfera, allora sicuramente non lo è la 3 sfera.