Prove interattive per i livelli della gerarchia polinomiale

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Sappiamo che se hai una macchina PSPACE, è abbastanza potente da fornire una prova interattiva di qualsiasi livello della gerarchia polinomiale. (E se ricordo bene, tutto ciò di cui hai bisogno è #P.) Ma supponi di voler dare una prova interattiva di appartenenza in una lingua . È abbastanza per essere in grado di risolvere i problemi in ? La risoluzione dei problemi in adeguata? Più in generale, se è possibile risolvere i problemi o , per quale è sufficiente per generare prove interattive di tutte le lingue in ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Questa domanda è stata ispirata da questa domanda di scambio di cstheory .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
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Sei interessato solo al caso del singolo prover o sei interessato al caso di più prover? Mi sembra che il modo ovvio per attaccare questo sarebbe tramite PCP, che potrebbe essere diretto per due prover, ma probabilmente non funzionerà per un singolo prover.

— Joe Fitzsimons,

1

Sarei interessato in entrambi i casi. Mi sono chiesto a questa domanda per singoli tester per un po 'di tempo, ma non avevo pensato affatto a più tester.

— Peter Shor,

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@Peter: guardando oltre la carta IP = PSPACE, sembra che la prova sarebbe passata usando (che è completo per ) piuttosto che QBF, a condizione che tu abbia un prover sufficientemente potente da calcolare le identità polinomiali derivanti dall'aritmitizzazione di . Mi sto perdendo qualcosa?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons,

1

@Joe, non ho considerato quell'idea; potrebbe funzionare.

— Peter Shor,

2

Joe, forse dovresti pubblicarlo come risposta

— Suresh Venkat,

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Anche per fornire un IP per il coNP, usando le tecniche attuali, è necessario aritmetizzare, cioè usare il conteggio, il che significa essenzialmente la piena potenza di #P. Qualsiasi prover più debole anche per il coNP sarebbe molto interessante, penso (in particolare implicherebbe una nuova tecnica non relativa.)

— Noam
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@Peter: Noam ha ragione. Cito le seguenti righe da qui : ... basare l'hashing resistente alle collisioni sulla durezza peggiore di NP attraverso una riduzione della scatola nera implica un sistema di prova interattivo per co-NP con il prover in BPP ^ NP ... Tutti noti (anche multi-prover) sistemi a prova di co-NP richiedono prover con complessità #P ...

— MS Dousti,

Nel qual caso la mia risposta è molto probabilmente senza senso. Grazie per averlo segnalato.

— Joe Fitzsimons,

In realtà, questo è davvero interessante, dato che una dimostrazione interattiva per il non isomorfismo di Graph richiede solo un prover con un oracolo per quel problema. Sembra una prova che l'IG sia molto molto debole (come in P) o che i limiti delle prove interattive dei livelli della gerarchia polinomiale siano probabilmente molto ampi.

— Joe Fitzsimons,

1

Presumo che più provers non siano noti per aiutare. È corretto?

— Peter Shor,

1

@Joe La dimostrazione di non isomorfismo grafico è una dimostrazione pubblica rotonda costante, che la pone quindi nella classe AM (ampiamente creduta uguale a NP, e quindi si ritiene che GI e RNL siano in ). Questo è molto inferiore alla prova circolare polinomiale che si ritiene sia necessaria per dimostrare l'appartenenza ai problemi completi del coNP.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— Boaz Barak,

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Questo è un noto (meraviglioso) problema aperto su cui ho lavorato di tanto in tanto senza successo.

Avi Wigderson e io abbiamo menzionato il problema nel nostro documento di algebrizzazione , in cui abbiamo sollevato la questione se contenimenti come CONP ⊆ IP _NP possano o meno essere dimostrati mediante tecniche di algebrizzazione. (Qui IP _NP indica IP con un verificatore BPP e un prover BPP ^NP .) Se (come ipotizzo) la risposta è no, ciò fornirebbe un motivo formale per cui qualsiasi protocollo interattivo come quello richiesto da Peter richiederebbe di non essere relativizzante tecniche che vanno "fondamentalmente oltre" quelle utilizzate per IP = PSPACE.

Una domanda analoga è se BQP = IP _BQP , dove IP _BQP significa IP con un verificatore BPP e un prover BQP (tempo polinomiale quantistico). Anche questa domanda è aperta, sebbene una recente scoperta di Broadbent, Fitzsimons e Kashefi abbia dimostrato che un'affermazione strettamente correlata è vera.

— Scott Aaronson
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Sì, la domanda se coNP abbia una prova interattiva in cui il prover è più debole di #P (diciamo, polytime con accesso all'oracolo NP) è una domanda aperta ben nota. Il seguente recente articolo di Haitner, Mahmoody e Xiao discute questa domanda e mostra alcune conseguenze dell'assunto che ciò non può essere fatto.

— Boaz Barak
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Dal momento che Suresh mi ha suggerito di pubblicare il mio commento come risposta, lo farò. Tuttavia, non ritengo che ciò costituisca una risposta completa in quanto non ho tentato di dimostrarlo e potrebbe rivelarsi un vicolo cieco.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
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il problema si pone già nella prova del coNP. Il protocollo sumcheck ha n round (uno per ogni variabile). In ogni round, il prover deve trovare i coefficienti del polinomio che si ottiene da una somma esponenzialmente grande. Non so come farlo usando meno energia di #P.

— Boaz Barak,

@ Boo: Sì, penso che questo approccio sia destinato a fallire. Pensavo di aver visto una versione dell'aritmetizzazione eseguita da qualche parte in modo tale che il polinomio assumesse valori 1 o 0 solo per input di 0 e 1 secondi. In questo caso, sembra che potresti usare un oracolo per un corrispondente problema decisionale. Poi di nuovo, potrei averlo immaginato!

— Joe Fitzsimons,