Tecniche per mostrare la non derivabilità in logiche e altri sistemi di prove formali


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Nei sistemi di prova per la logica proposizionale classica se si vuole dimostrare che una determinata formula non è derivabile, si mostra semplicemente che può essere derivato (anche se altre tecniche sono certamente possibili). La non derivabilità deriva essenzialmente dalla solidità e completezza del sistema di prova.ψ¬ψ

Sfortunatamente per logiche non classiche e sistemi di prova più esotici (come le regole alla base della semantica operativa) non esiste una tale tecnica diretta. Ciò potrebbe essere dovuto al fatto che la non derivabilità di non implica che sia derivabile, come nel caso delle logiche intuizionistiche, o semplicemente che non esiste alcuna nozione di negazione.ψ¬ψ

Alla mia domanda viene dato un sistema di prova , dove , (e presumibilmente la sua semantica), quali tecniche esistono mostrare non derivabilità?(L,)L×L

I sistemi di prova di interesse potrebbero includere la semantica operativa di linguaggi di programmazione, logiche Hoare, sistemi di tipi, una logica non classica o regole di inferenza per ciò che hai.


Dave, penso che ci sia un refuso nella domanda, per mostrare che non è derivabile non mostriamo che è derivabile, mostriamo solo che è coerente, e questo si basa solo sulla coerenza del classico logica. Se la logica è la logica classica di primo ordine, allora ci sono frasi che non possiamo né provare né smentire (a meno che non stiamo parlando di una teoria completa ). O sto leggendo male la tua domanda? ¬ φφ¬φ
Kaveh,

L'ho cambiato in logica proposizionale classica. La domanda richiede qualsiasi tecnica oltre a provare la negazione, poiché molti sistemi formali (raccolte di assiomi e regole di inferenza) non hanno negazione, o in effetti potrebbero non sembrare nemmeno "logiche".
Dave Clarke,

Grazie per il chiarimento, la mia mente passa alla logica del primo ordine per impostazione predefinita quando leggo la logica classica. :)
Kaveh,

Risposte:


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IME, il seguente elenco è il più semplice al più difficile (ovviamente, è anche il meno potente):

  • Se il tuo sistema è sano e puoi provare , ovviamente avrai un risultato di non .¬ϕ

  • Se hai una semantica teorica reticolare per la tua logica, rispetto alla quale sono valide tutte le tue regole di prova, allora se il significato di una proposizione non è l'elemento più in alto della grata, allora non è una proposizione derivabile.

  • Se sai che la tua logica è completa rispetto a una classe di modelli, controlla se esiste un modello particolare in quella classe che invalida .ϕ

  • A volte è possibile cavarsela con una traduzione in un'altra logica e dimostrare che la derivabilità qui implica un risultato noto di non destabilità.

  • Se si dispone di una deduzione naturale o di un calcolo sequenziale, verificare se è noto un risultato di eliminazione del taglio o se è possibile provarne uno. In tal caso, è spesso possibile sfruttare la proprietà dei subformuli per fornire semplici argomenti induttivi sulla non destabilità. (Ad esempio, la coerenza tramite l'eliminazione dei tagli è solo l'affermazione che non esistono prove di falsi prive di taglio e quindi se tutti i tagli possono essere eliminati, non ci sono incoerenze.)

  • Se nient'altro funziona, allora puoi spesso mostrare risultati di coerenza / non destabilibilità tramite un argomento di relazioni logiche. Questa è la grande pistola, che funziona quando nient'altro lo fa - in termini di teoria dei set, si riduce a un uso dell'assioma della sostituzione, che ti consente di mostrare che set enormi sono ben ordinati. (Ecco perché puoi usarlo per provare cose come la normalizzazione del Sistema F.)


Bene, se ricordo bene, la normalizzazione per può essere dimostrata in , quindi non è necessario sostituirla. P A 2FPA2
Kaveh,

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F2

Grazie, ora capisco cosa intendevi per "cose ​​come la normalizzazione del Sistema F". :)
Kaveh,

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@Kaveh, @Neel: la forte normalizzazione del sistema F non è un teorema di PA2, ma è equivalente su PA alla coerenza di PA2. Piuttosto, una forte normalizzazione per tutti i termini del grado n (il grado è la misura della profondità massima dei quantificatori di tipo nsted) può essere dimostrata usando ACA- n . Mi piace parlare di costruire modelli di covoni in segreto ...
Charles Stewart,

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@Charles: ho appreso di questa idea da alcuni articoli di Jean Gallier, che sono sorprendentemente citati. In qualche modo perversamente, questa visione fantasiosa mi ha aiutato a capire l'account più semplice di Mitchell & Scedrov.
Neel Krishnaswami,
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