Perché è importante la lentezza complementare?

La lentezza complementare (CS) viene comunemente insegnata quando si parla di dualità. Stabilisce una buona relazione tra il vincolo / le variabili primari e doppi da un punto di vista matematico.

I due motivi principali per applicare CS (come insegnato in corsi di laurea e libri di testo):

Per verificare l'ottimalità dell'LP
Per aiutare a risolvere il doppio

Data la potenza di calcolo odierna e gli algoritmi polinomiali per la risoluzione degli LP, CS è ancora rilevante da un punto di vista pragmatico? Potremmo sempre risolvere i doppi e affrontare entrambi i punti sopra. Concordo sul fatto che sia "più efficiente" risolvere il doppio con l'aiuto di CS, ma è così? O c'è di più in CS di quanto sembri? Dove è esattamente utile CS oltre i due punti precedenti ? Ho visto comunemente testi che alludono al concetto di CS quando si parla di algoritmi di approssimazione ma non riesco a comprenderne il ruolo.

— dottorato di Ricerca
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Non è la mia area di competenza, ma sembra che tu stia chiedendo perché insegniamo le proprietà di X anche se decidere X è facile dal punto di vista computazionale. Ad esempio, perché insegniamo la caratterizzazione "no dispari cicli = bipartiti" della bipartitalità anche se disponiamo di algoritmi temporali polinomiali per il controllo della bipartiticità. È quello che stai chiedendo, in un certo senso?

— Robin Kothari,

Non esattamente. Capisco "perché" lo insegni. Vorrei sapere da un POV pratico come viene utilizzato per risolvere LP e / o progettare algoritmi di approssimazione. Qual è la comprensione che otteniamo oltre alle relazioni matematiche tra variabili e vincoli.

— Dottorato di ricerca

Bene, penso che possa aiutare a ottenere soluzioni "analitiche" ... che potrebbe essere più difficile ottenere con un computer.

— usul,

Non "capisco" la domanda. Solo perché usiamo calcolatrici e computer per aggiungere e moltiplicare numeri, dobbiamo ancora conoscere le proprietà dei numeri?

— Chandra Chekuri,

@ChandraChekuri - Non intendo questo. Sto solo cercando di capire cosa c'è di così grande in questo teorema e cosa lo rende importante. Non voglio accettarlo come "così è", ma vorrei avere una comprensione più profonda della sua importanza rispetto alla dualità LP

— PhD

La lentezza complementare è la chiave nella progettazione di algoritmi dual-primal. L'idea di base è:

$y$
$x$ $(x, y)$
$x$ $y$

$s$ $t$ $s$ $t$

Gli algoritmi dual-primal sono utili per molte ragioni. Filosoficamente, forniscono più informazioni di un algoritmo generico. Di solito forniscono algoritmi temporali fortemente polinomiali, mentre non abbiamo ancora solutori LP fortemente polinomiali. Spesso sono più pratici degli algoritmi generici. Ciò è particolarmente vero se non possiamo scrivere esplicitamente l'LP e la nostra unica altra scelta è l'algoritmo ellissoide, che è il caso della corrispondenza non bipartita e dell'algoritmo primal-dual di Edmonds.

$y$ $x$ $y$ $x_i > 0$ $y_j > 0$ $x$ $\alpha$ $\alpha$

— Sasho Nikolov
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