Quali notevoli modelli di automi hanno un contenimento polinomiale decidibile?

Sto cercando di risolvere un problema particolare e ho pensato di poterlo risolvere usando la teoria degli automi. Mi chiedo, quali modelli di automi hanno contenimento decidibile in tempo polinomiale? cioè se hai macchine puoi verificare se efficiente.$M_1, M_2$$L(M_1) \subseteq L(M_2)$

Gli ovvi che vengono in mente sono i DFA e le macchine contatori con limite di inversione in cui è fissato il numero di contatori (vedi questo documento ).

Quali altre classi degne di nota possono essere aggiunte a questo elenco?

Più potenti sono gli automi, meglio è. Ad esempio, i DFA non sono sufficienti per risolvere il mio problema e le macchine contatore non possono farlo con un numero fisso di contatori. (Naturalmente, se diventi troppo potente, allora il contenimento è intrattabile, come per gli NFA, o indecidibile, per i CFG).

Automi pushdown visibilmente (o automi parola nidificati , se si preferisce lavorare con parole nidificate anziché parole finite) estendono il potere espressivo degli automi deterministici finiti: la classe dei linguaggi regolari è strettamente contenuta nella classe dei linguaggi pushdown visibilmente. Per automi deterministici di pushdown visibilmente, il problema dell'inclusione della lingua può essere risolto in tempi polinomiali. Per maggiori dettagli, vedi l'articolo di Alur e Madhusudan, in particolare il capitolo 6.

A proposito, la variante non deterministica di automi visibilmente pushdown è esponenzialmente più succinta della variante deterministica, ma lì il problema dell'inclusione del linguaggio è EXPTIME completo e quindi intrattabile.

Alur, R .; Madhusudan, P. (2009). " Aggiunta della struttura di annidamento alle parole ". Diario dell'ACM 56 (3): 1–43.

Se nel tuo ambito sono presenti infinite parole, puoi generalizzare DFA (con condizione di parità) ai cosiddetti automi Good-for-Games (GFG), che hanno ancora un contenimento polinomiale.

Un NFA è GFG se esiste una strategia , che dato il prefisso letto finora e lo stato e la lettera correnti, sceglie una transizione per passare allo stato successivo. La strategia deve garantire che per ogni nella lingua dell'automa, la corsa prodotta da su w sia accettabile.$\sigma:A^*\times Q\times A\to \Delta$$\sigma$$w$$\sigma$$w$

Il contenimento di questi automi è in P per qualsiasi condizione di parità fissa (riducendo ai giochi di parità) e in Quasi-P se l'indice di parità fa parte dell'input. Possono essere esponenzialmente più piccoli di qualsiasi DFA equivalente [3].

In parole limitate, tuttavia, sono solo DFA con possibili transizioni aggiuntive inutili, quindi non portano davvero nulla di nuovo.

Ecco alcuni riferimenti:

[1] Risoluzione di giochi senza determinazione , Henzinger, Piterman, in CSL 2006

[2] Non determinismo in presenza di un futuro diverso o sconosciuto , Boker, Kuperberg, Kupferman, Skrzypczak, in ICALP 2013

[3] Sulla determinazione degli automi di buoni giochi , Kuperberg, Skrzypczak, in ICALP 2015

Un automa XOR non deterministico (NXA) soddisfa la tua domanda.

$M$$w\in \Sigma^*$$L(M)$

Gli NXA vengono utilizzati per creare piccole rappresentazioni di linguaggi regolari e alcuni algoritmi parametrizzati.

$O(|Q|^3$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

$M_1$$M_2$$L(M_2)$$L(M_1)$

$M_2$

Vorrei fare uno schizzo di una prova di questo risultato.

$M_1$$M_2$$M_2$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Prova.
Passaggio 1: questo si riduce all'universalità di automi non ambigui.

$M_1$$M_1$

$L(M_1)\subseteq L(M_2)$$L(M_2)\cup L(M_1)^c$

Step 2: Succede che gli automi inequivocabili possano essere visti come automi NXA (automi XOR non deterministici nel post precedente di RB) senza che la valutazione debba essere modificata (in effetti, una disgiunzione su tutte le corse in accusa è equivalente a un xor in tutto accettando corre poiché esiste al massimo una di queste corse). Per questi automi, l'universalità è nota per essere polinomiale (QED).

$Z/2Z$

[SH85] Richard E. Stearns e Harry B. Hunt III. Sui problemi di equivalenza e di contenimento per espressioni regolari non ambigue, grammatiche regolari e automi finiti. SIAM J. Comput., 14 (3): 598–611, 1985.

[S61] Schützenberger, MP: Sulla definizione di una famiglia di automi. Informazione e controllo 4, 245–270 (1961)

Le grammatiche LL (k) regolari (ovvero le grammatiche che sono sia LL (k) che regolari ) possono essere convertite in tempo polinomiale in automi finiti deterministici equivalenti, e quindi il contenimento e l'equivalenza del linguaggio possono essere risolti in PTIME. Vedi Teorema 4.2 nel seguente documento (e successivamente i risultati per un'applicazione di questa osservazione agli schemi del programma).

Harry B. Hunt III: Osservazioni sulla complessità dei problemi di espressione regolare , Journal of Computer and System Sciences 19, 222-236 (1979)