Mescolanza di token su un grafico usando gli swap locali

Sia un grafico connesso non regolare il cui grado è limitato. Supponiamo che ogni nodo contenga un token univoco. $G= (V, E)$

Voglio mescolare uniformemente i token tra i grafici usando solo gli swap locali (ovvero lo scambio dei token tra due nodi adiacenti)? Esiste un limite inferiore noto per questo problema?

L'unica idea che ho avuto è quella di utilizzare un risultato di camminata casuale, quindi vedere di quanti swap ho bisogno per "simulare" l'effetto di camminate casuali che trasportano token sul grafico.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
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Che tipo di limite inferiore stai cercando? Numero totale di swap? Numero di round paralleli (ovvero, in 1 passaggio è possibile scambiare tutti i bordi di una corrispondenza in

)? Limite inferiore in funzione di

? Tutti i nodi conoscono la topologia di

(e possono adattare il loro comportamento di conseguenza) o stai cercando una strategia fissa che puoi applicare in qualsiasi grafico?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela,

Avrei dovuto essere più specifico, scusa. L'obiettivo è progettare un metodo di diffusione dei dati per le reti di sensori che eviti i problemi dei metodi basati su passeggiate casuali (essenzialmente perdita di informazioni a causa di diversi token che si scontrano nello stesso nodo). Quindi sono interessato al numero totale di swap (questo darà il numero di messaggi che circolano nella rete) e il numero di round (per avere una stima approssimativa del tempo di convergenza). un LB in funzione di

va bene e i nodi non sono a conoscenza della topologia (purtroppo).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet,

Risposte:

Supponiamo che il tuo grafico sia un percorso. Penso quindi che questo problema diventi equivalente all'ordinamento di una sequenza casuale di numeri in un array scambiando le voci adiacenti. Anche di tutti i nodi sono a conoscenza della topologia, si ottiene un ^ 2 limite inferiore sul numero di swap (non si può fare meglio dell'ordinamento a bolle che è n ^ 2 anche su un input casuale).

— Lev Reyzin
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O (n^{2})

$O(n^2)$

Questo LB dice che non puoi migliorare l'algoritmo anche se puoi scegliere i tuoi swap ... ma giusto, immagino che il problema potrebbe diventare più facile man mano che il grado (medio?) Sale.

— Lev Reyzin

Pianificherò alcune simulazioni per vedere come vanno le cose quando la laurea cresce.

— Sylvain Peyronnet,

In realtà sembra che questo LB (con qualche modifica) sarà valido anche se le due estremità del percorso hanno grosse cricche - come in 2 cricche su n / 4 collegate da un percorso di n / 2 nodi. Ora il grado medio è O (n), ma non puoi ancora battere n ^ 2. Forse dobbiamo imporre un grado minimo?

— Lev Reyzin

Sì, abbiamo bisogno di un grado minimo :(

— Sylvain Peyronnet,

Vorrei sottolineare la relazione tra questo problema e le reti di smistamento. Ad esempio, se il tuo grafico è un percorso, la banale rete di ordinamento a profondità lineare mostra anche che puoi ottenere qualsiasi permutazione nel numero lineare di round. Inoltre, questo è stretto, poiché semplicemente scambiare gli elementi ai punti finali del percorso richiede un numero lineare di arrotondamenti.

Le reti di ordinamento AKS mostrano che ci sono grafici in cui è possibile ottenere qualsiasi permutazione nel numero logaritmico di round. Per il caso dei grafici a griglia, vedere ad esempio queste note di lezione .

(Naturalmente l'ordinamento e il mescolamento sono problemi diversi, ma molti limiti superiore e inferiore sono correlati. Ad esempio, selezionare etichette casuali e ordinare per etichette.)

— Jukka Suomela
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Grazie per il puntatore. Scaverò in questa direzione, forse non è quello che mi serve qui (non sono sicuro di avere il buon tipo di grafico) ma sicuramente sarà qualcosa che userò prima o poi!

— Sylvain Peyronnet,