Un importante articolo del 2003 di Childs et al.introdotto il "problema degli alberi congiunti": un problema che ammette uno speedon quantistico esponenziale che è diverso da qualsiasi altro problema di cui siamo a conoscenza. In questo problema, ci viene dato un grafico esponenzialmente grande come quello mostrato di seguito, che consiste in due alberi binari completi di profondità n, le cui foglie sono collegate tra loro da un ciclo casuale. Siamo forniti con l'etichetta del vertice INGRESSO. Ci viene anche fornito un oracolo che, dato come input l'etichetta di ogni vertice, ci dice le etichette dei suoi vicini. Il nostro obiettivo è trovare il vertice EXIT (che può essere facilmente riconosciuto, come unico vertice di grado 2 nel grafico diverso dal vertice ENTRANCE). Possiamo supporre che le etichette siano lunghe stringhe casuali, quindi con una probabilità schiacciante,vertice diverso dal vertice INGRESSO deve essere dato dall'oracolo.
Childs et al. ha mostrato che un algoritmo di camminata quantistica è semplicemente in grado di scorrere attraverso questo grafico e trovare il vertice EXIT dopo i passaggi poli (n). Al contrario, hanno anche dimostrato che qualsiasi algoritmo randomizzato classico richiede passaggi exp (n) per trovare il vertice EXIT con alta probabilità. Hanno dichiarato il loro limite inferiore come Ω (2 n / 6 ), ma credo che un esame più attento della loro prova dia Ω (2 n / 2 ). Intuitivamente, questo perché con una probabilità schiacciante, una camminata casuale sul grafico (anche una camminata che si auto-evita, ecc.) Rimarrà bloccata nella vasta regione centrale per un periodo esponenziale di tempo: ogni volta che un camminatore inizia a dirigersi verso l'USCITA , il numero molto maggiore di spigoli che punta lontano dall'USCITA fungerà da "forza repulsiva" che lo spinge indietro nel mezzo.
Il modo in cui hanno formalizzato l'argomento è stato quello di mostrare che, fino a quando non è stato visitato ~ 2 n / 2 vertici, un algoritmo randomizzato non ha nemmeno trovato alcun ciclo nel grafico: il sottografo indotto che è stato visto finora è solo un albero, che non fornisce informazioni su dove potrebbe trovarsi il vertice EXIT.
Sono interessato a individuare con precisione la complessità della query randomizzata di questo problema. La mia domanda è questa:
Qualcuno può inventare un algoritmo classico che trova il vertice EXIT in meno di ~ 2 n passaggi --- diciamo, in O (2 n / 2 ) o O (2 2n / 3 )? In alternativa, qualcuno può dare un limite inferiore migliore di Ω (2 n / 2 )?
(Si noti che, per paradosso del compleanno, non è difficile trovare cicli nel grafico dopo O (2 n / 2 ) passi. La domanda è se si possono usare i cicli per ottenere qualsiasi indizio su dove sia il vertice EXIT.)
Se qualcuno può migliorare il limite inferiore passato Ω (2 n / 2 ), allora per quanto ne so, questo fornirebbe il primo esempio dimostrabile di un problema di black box con un speedon quantico esponenziale, la cui complessità di query randomizzata è maggiore di √N . (Dove N ~ 2 n è la dimensione del problema.)
Aggiornamento: ho imparato da Andrew Childs che, in questa nota , Fenner e Zhang migliorano esplicitamente il limite inferiore randomizzato per alberi congiunti a Ω (2 n / 3 ). Se fossero disposti ad accettare una probabilità di successo costante (piuttosto che esponenzialmente piccola), credo che potrebbero migliorare ulteriormente il limite, a Ω (2 n / 2 ).
