Probabilità di generare una permutazione desiderata tramite scambi casuali

Sono interessato al seguente problema. Ci viene data come input una "permutazione target" , nonché un elenco ordinato di indici . Quindi, a partire dall'elenco (cioè la permutazione dell'identità), ad ogni momento il passaggio scambiamo l' elemento in $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ con il elemento, con probabilità indipendente . Sia la probabilità che sia prodotto come output. $(i_t+1)^{st}$ $1/2$ $p$ $\sigma$

Mi piacerebbe sapere (uno dei) seguenti:

Deve decidere se un problema -Complete? $p>0$ $NP$
Il calcolo di esattamente completo? $p$ $\#P$
Cosa possiamo dire dell'approssimazione di all'interno di una costante moltiplicativa? Esiste un PTAS per questo? $p$

Anche la variante in cui gli swap non devono necessariamente essere di elementi adiacenti è interessante.

Si noti che non è difficile ridurre questo problema ai percorsi edge-disjoint (o al flusso di multipacità con valori interi); quello che non so è una riduzione nell'altra direzione.

Aggiornamento: OK, controllando Garey & Johnson, il loro problema [MS6] ("Generazione di permutazione") è il seguente. Data in ingresso una destinazione permutazione , unitamente sottoinsiemi , decide se è esprimibile come prodotto , dove ogni agisce banalmente su tutti non indici in . Garey, Johnson, Miller e Papadimitriou (purtroppo dietro un paywall) dimostrano che questo problema è $\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ -hard. $NP$

$p>0$ $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

$\#P$ $P=NP$

— Scott Aaronson
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Non sono sicuro di aver capito la domanda. Dove sta arrivando la probabilità? Scambia con probabilità 1/2 e non con probabilità 1/2?

— Arnab,

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

Penso che se p> 0 può essere deciso in tempo polinomiale.

Il problema in questione può essere facilmente identificato come problema dei tracciati disgiunti dal bordo, in cui il grafico sottostante è un grafico planare costituito da m + 1 strati ciascuno dei quali contiene n vertici, oltre a m vertici di grado 4 per rappresentare i possibili swap adiacenti. Si noti che la planarità di questo grafico deriva dal fatto che consentiamo solo swap adiacenti.

Se non sbaglio, questo rientra nel caso speciale del problema dei percorsi sconnessi risolti da Okamura e Seymour [OS81]. Inoltre, Wagner e Weihe [WW95] forniscono un algoritmo a tempo lineare per questo caso.

Vedi anche le note della lezione di Goemans [Goe12], che offre una bella esposizione dell'algoritmo di Okamura-Seymour e dell'algoritmo di Wagner – Weihe.

Riferimenti

[Goe12] Michel X. Goemans. Dispense, 18.438 Ottimizzazione combinatoria avanzata, Conferenza 23 . Massachusetts Institute of Technology, primavera 2012. http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81] Haruko Okamura e Paul D. Seymour. Flussi di multipacità nei grafici planari. Journal of Combinatorial Theory, Series B , 31 (1): 75–81, agosto 1981. http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea Wagner e Karsten Weihe. Un algoritmo a tempo lineare per percorsi edge-disjoint in grafici planari. Combinatorica , 15 (1): 135–150, marzo 1995. http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— Tsuyoshi Ito
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