Esistenza di percorsi lunghi indotti nei grafici di espansione

Diciamo che una famiglia di grafici ha percorsi indotti a lungo se c'è una costante tale che ogni grafico in contiene un percorso indotto su vertici. Sono interessato alle proprietà delle famiglie di grafici che assicurano l'esistenza di percorsi indotti a lungo. In particolare, attualmente mi chiedo se gli espansori di grado costante abbiano percorsi indotti da lungo tempo. Ecco quello che so. ϵ > 0 G F | V ( G ) | $\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• I grafici casuali con grado medio costante (nel modello Erdős – Rényi) hanno percorsi indotti lunghi (anche lineari) con alta probabilità; vedi ad esempio l'articolo di Suen .
• I grafici degli espansori univoci vicini (come definiti da Alon e Copalbo ) hanno alberi indotti di grandi dimensioni . In effetti, qualsiasi albero indotto massimo è grande in tali grafici.

Alla luce di questi due fatti, mi aspetto che gli espansori di grado contante abbiano percorsi indotti da lungo tempo. Tuttavia, non sono riuscito a trovare risultati concreti. Qualsiasi approfondimento è molto apprezzato.

La risposta dovrebbe essere positiva se il grafico dei gradi limitati ha sia la proprietà di espansione costante che la circonferenza . L'argomento sarebbe: iniziare da un vertice, quindi per i passaggi fare una passeggiata in cui ogni passo è scelto a caso tra quelli che non ci riportano dove eravamo prima. (Quindi se il grafico è regolare abbiamo scelte casuali ad ogni passaggio.)n ϵ d d - $\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

Ora sostengo che, per ogni e , se osservo passaggi e della camminata, la probabilità che esista un margine tra il vertice al passaggio e il vertice al passaggio è . Quindi, se è scelto sufficientemente piccolo, un limite di unione mostrerà che la camminata indurrà un percorso con probabilità . j i j i j n - Ω ( 1 ) ϵ 1 - o ( 1 $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Seè inferiore alla circonferenza, quindi la probabilità di un bordo tra e è solo zero. Se , l'espansione del grafico dovrebbe essere sufficiente per sostenere che l'esistenza del bordo avviene con probabilità . Questo perché, per un vertice di avvio fisso , la distribuzione della camminata dopo un numero di passi pari alla circonferenza è uniforme su un set di dimensioni e quindi ha probabilità di collisionei j j > i + Ω ( log n ) ( i , j ) n - Ω ( 1 ) v n Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) n - Ω ( 1 ) O ( 1 ) v n - Ω ( 1 $|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$; ogni passaggio successivo dovrebbe solo ridurre la probabilità di collisione (questo è vero per una camminata casuale effettiva, ma dovrebbe essere vero anche per questa camminata non di backtracking), e quindi la probabilità di collisione, e quindi l'entropia minima, della distribuzione rimane e la probabilità di colpire uno dei vicini di è anche .$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$