In che misura la matematica dei Real può essere applicata ai Real Computable?

Esiste un teorema generale che affermerebbe, con un'adeguata sanificazione, che i risultati più noti sull'uso dei numeri reali possono essere effettivamente utilizzati quando si considerano solo i reali calcolabili? Oppure esiste una corretta caratterizzazione dei risultati che rimangono validi se si considerano solo i reali calcolabili? Una domanda secondaria è se i risultati riguardanti i reali calcolabili possano essere provati senza dover considerare tutti i reali, o tutto ciò che non è calcolabile. Sto pensando specificamente al calcolo e all'analisi matematica, ma la mia domanda non si limita affatto a questo.

In realtà, suppongo che esista una gerarchia di reali calcolabili corrispondente alla gerarchia di Turing (è corretto?). Quindi, più astrattamente, esiste una teoria astratta del reale (non sono sicuro di quale dovrebbe essere la terminologia), per la quale un numero di risultati potrebbe essere provato, che si applicherebbe ai numeri reali tradizionali, ma anche ai reali calcolabili, e a qualsiasi livello della gerarchia di Turing di reali calcolabili, se esiste.

Quindi la mia domanda potrebbe forse essere formulata come: Esiste una caratterizzazione dei risultati che si applicherà nella teoria astratta dei reali quando saranno stati dimostrati per i reali tradizionali. E questi risultati potrebbero essere dimostrati direttamente nella teoria astratta, senza considerare i reali tradizionali.

Sono anche interessato a capire come e quando divergono queste teorie sui reali.

PS Non so dove inserirlo nella mia domanda. Mi sono reso conto che buona parte della matematica sui reali è stata generalizzata con la topologia. Quindi può darsi che la risposta alla mia domanda, o parte di essa, possa essere trovata lì. Ma potrebbe esserci anche di più.

I numeri reali possono essere caratterizzati in un paio di modi, lavoriamo con il campo ordinato archivistico completo di Cauchy . (Dobbiamo stare un po 'attenti a come esattamente diciamo questo, vedere la Definizione 11.2.7 e la Definizione 11.2.10 del libro HoTT .)

Il seguente teorema è valido in qualsiasi topos (un modello di logica intuizionistica di ordine superiore):

Teorema: esiste un campo ordinato archivistico completo di Cauchy, e in realtà due di questi campi sono canonicamente isomorfi.

Inoltre, nella logica intuizionista (da non confondere con l' intuizionismo ) possiamo fare molta analisi reale (sequenze e limiti, derivati, integrali, continuità, continuità uniforme, ecc.) Che è quindi valida in qualsiasi topos. Se prendiamo il topos dei set otteniamo la solita vera analisi. Prendendo un topos diverso otteniamo un diverso tipo di analisi reale - e c'è un topos che produce precisamente i reali calcolabili e l'analisi reale calcolabile.

Questo naturalmente è il topos efficaci , in cui i numeri reali sono i reali calcolabili (parlando vagamente, la ragione di ciò è che il topos efficace è costruito in modo tale che tutto in esso sia automaticamente calcolabile). La risposta alla tua domanda è

Definizioni, costruzioni e teoremi nell'analisi reale intuizionistica vengono tradotti automaticamente in definizioni, costruzioni e teoremi sui reali calcolabili quando li interpretiamo in topos efficaci.

$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

Chiedete anche della "divergenza" tra analisi reale e la sua versione calcolabile. La risposta è che i risultati che si basano sulla legge del mezzo escluso o sull'assioma della scelta (sebbene la scelta numerabile sia ok) non sono intuizionistici e pertanto non possono essere validati nei topos efficaci. Tuttavia, dovremmo notare che (contrariamente all'opinione popolare) maggior parte delle analisi può essere effettuata in modo intuitivo.

Il topos efficace è solo uno dei tanti aspetti della realizzabilità . Quando interpretiamo l'analisi intuizionistica in altri aspetti della realizzabilità otteniamo modelli alternativi di calcolabilità dei numeri reali, incluso il calcolo con gli oracoli a cui alludi. La "relativa topos realizzabilità della funzione di Kleene" (qualunque cosa sia) fornisce la cosiddetta calcolabilità di tipo II sui reali in cui le mappe calcolabili operano su tutti i reali, non solo su quelli calcolabili.

Ho cercato di spiegarlo una volta nelle note "La fattibilità come connessione tra matematica calcolabile e costruttiva" , e prima ancora nel mio dottorato di ricerca. tesi .