A cosa servono i circuiti a larghezza d'albero limitata?

Si può parlare della treewidth di un circuito booleano, definendo come il treewidth del grafico "moralizzata" a fili (vertici) ottenuto come segue: i fili di connessione $a$ e $b$ quando è l'uscita di una porta avente come input (o vice versa); Collegare i fili e ogni volta che vengono utilizzati come ingressi alla stessa porta. Modifica: si può definire in modo equivalente la larghezza dell'albero del circuito come quella del grafico che lo rappresenta; se usiamo l'associatività per ricollegare tutte le porte AND e OR per avere un fan-in al massimo due, la larghezza dell'albero secondo l'una o l'altra definizione è la stessa fino a un fattore .$b$$a$$a$$b$$3$

Esiste almeno un problema che è noto per essere non trattabile in generale ma trattabile su circuiti booleani di larghezza dell'albero limitata: data la probabilità che ciascuno dei fili di ingresso sia impostato su 0 o 1 (indipendentemente dagli altri), calcola la probabilità che una determinata porta di uscita è 0 o 1. Questo è generalmente # P-hard con una riduzione, ad esempio, # 2SAT, ma può essere risolto in PTIME su circuiti la cui larghezza dell'albero è considerata inferiore a una costante, usando l' algoritmo dell'albero di giunzione .

La mia domanda è sapere se ci sono altri problemi, oltre al calcolo probabilistico, che sono noti per essere intrattabili in generale, ma trattabili per i circuiti a larghezza limitata, o la cui complessità può essere descritta come una funzione della dimensione del circuito e anche della sua larghezza dell'albero. La mia domanda non è specifica al caso booleano; Sono anche interessato ai circuiti aritmetici rispetto ad altri semirings. Vedi qualche problema del genere?

Abbiamo ora capito che per ogni limite fissato $k \in \mathbb{N}$ sul treewidth, possiamo convertire qualsiasi circuito booleano di treewidth meno di $k$ ad una cosiddetta d-SDNNF circuito, in tempo lineare e con la dipendenza$k$ essendo singolarmente esponenziale.

I cosiddetti d-SDNNF sono circuiti che soddisfano le condizioni sull'uso di negazione (solo alle foglie), determinismo (gli ingressi alle porte OR si escludono a vicenda), decomposibilità (gli ingressi alle porte AND dipendono da insiemi disgiunti di variabili ) e stabilità (le porte AND dividono le variabili in modo fisso in tutto il circuito, come descritto da un albero a V). Questa classe è stata studiata nella compilazione delle conoscenze ed è noto per godere di SAT trattabili e conteggio dei modelli trattabili (riconquista della valutazione probabilistica e del conteggio), ma altri problemi sono stati studiati per questa classe come l' enumerazione , la quantificazione , ecc.

Quindi un modo per usare i limiti sulla larghezza degli alberi di un circuito è convertirlo in questa classe d-SDNNF che ha proprietà più esplicite in termini di semantica del circuito e per i quali ci sono molti risultati noti sulla tracciabilità di vari compiti.