Questa variazione di TQBF è ancora PSPACE completa?

Decidere se una formula booleana quantificata come

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

valuta sempre come vero è un classico problema completo di PSPACE. Questo può essere visto come un gioco tra due giocatori, con mosse alternate. Il primo giocatore decide il valore di verità delle variabili dispari e il secondo giocatore decide il valore di verità delle variabili pari. Il primo giocatore cerca di rendere $\varphi$ falso e il secondo giocatore cerca di renderlo vero. Decidere chi ha una strategia vincente è completo per PSPACE.

Sto considerando un problema simile con due giocatori, uno che cerca di rendere vera una formula booleana $\varphi$ e l'altro che cerca di renderla falsa. La differenza è che in una mossa, un giocatore può scegliere una variabile e un valore di verità (ad esempio, come prima mossa, il giocatore potrebbe decidere di impostare $x_8$ su true e poi nella mossa successiva, il giocatore due potrebbe decidere di impostare $x_3$ su false). Ciò significa che i giocatori possono decidere quale delle variabili (di quelle a cui non è stato ancora assegnato un valore di verità) vogliono assegnare un valore di verità, invece di dover giocare nell'ordine $x_1 , \ldots , x_n$ .

Al problema viene data una formula booleana $\varphi$ su $n$ variabili per decidere se il giocatore uno (cercando di renderlo falso) o il giocatore due (cercando di renderlo vero) ha una strategia vincente. Questo problema è chiaramente ancora presente in PSPACE, poiché l'albero del gioco ha una profondità lineare.

Rimane PSPACE completo?

È un gioco di Soddisfazione di vincoli non ordinati ed è completo per PSPACE ed è stato dimostrato di essere completo per PSPACE solo di recente ; una prova può essere trovata in:

Lauri Ahlroth e Pekka Orponen, Giochi di soddisfazione sui vincoli non ordinati . Appunti di lezione in Informatica Volume 7464, 2012, pp 64-75.

Astratto:Consideriamo i giochi di soddisfazione dei vincoli a due giocatori su sistemi di vincoli booleani, in cui i giocatori si alternano nella selezione di una delle variabili disponibili e nell'impostazione su vero o falso, con l'obiettivo di massimizzare (per il giocatore I) o minimizzare (per il giocatore II) il numero di vincoli soddisfatti. A differenza dei giochi standard di assegnazione delle variabili di tipo QBF, non imponiamo alcun ordine in cui le variabili debbano essere giocate. Questo rende l'installazione del gioco più naturale, ma anche più difficile da controllare. Forniamo strategie di approssimazione a tempo costante polinomiale per il giocatore I quando i vincoli sono funzioni di parità o funzioni di soglia con una soglia piccola rispetto all'arità dei vincoli. Inoltre, dimostriamo che il problema di determinare se Player I è in grado di soddisfare tutti i vincoli è PSPACE completo anche in questa impostazione non ordinata,

Dal contenuto:

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... Teorema 4 : Il problema di decidere la soddisfacibilità di GBF di una formula booleana è completo di PSPACE.

EDIT : Daniel Grier ha scoperto che il risultato è stato risolto anche da Schaefer negli anni '70, vedi la sua risposta su questa pagina per il riferimento (e lo ha votato :-). Schaefer ha dimostrato che il gioco è ancora completo per PSPACE anche se limitato a formule CNF positive (ovvero formule proposizionali in forma congiuntiva normale in cui non si verificano variabili negate) con al massimo 11 variabili in ciascuna congiunzione.

Potrebbe anche valere la pena notare che questo problema è stato risolto anche negli anni '70 da Thomas Schaefer in  Complessità dei problemi di decisione basati su giochi finiti di informazioni perfette per due persone . In effetti, dimostra un risultato leggermente più forte in quanto il linguaggio rimane completo di PSPACE anche se limitato a formule CNF positive.

Abbiamo dimostrato che questo gioco è completo per PSPACE per 5-CNF ma ha algoritmo Linear Time per 2-CNF. Il miglior risultato precedente è stato il 6-CNF di Ahlroth e Orponen.

Puoi trovare il documento della conferenza all'ISAAC 2018 .

Aggiornamento: 16 novembre 2019

Abbiamo dimostrato che il gioco è trattabile per 3-CNF con alcune restrizioni sui 3-CNF. Abbiamo anche ipotizzato radicalmente che questo gioco è anche trattabile senza restrizioni sui 3-CNF. Puoi trovare la versione iniziale su ECCC .