Conseguenze di

Ho parte di un tentativo di prova di $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ . Il tentativo di prova consiste in una riduzione del Karp dal $\oplus \mathbf{P}$ problema completo $\oplus$ 3-REGOLARE VERTEX COVER a SAT.

Dato un grafico cubico $G$ , la riduzione produce una formula CNF $F$ avente entrambe le seguenti proprietà:

$F$ ha al massimo $1$ incarico soddisfacente.
$F$ è soddisfacente se e solo se il numero di coperture dei vertici di $G$ è dispari.

Domande

Quali sarebbero le conseguenze di $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ ? Una conseguenza di cui sono già a conoscenza è la seguente: $\mathbf{PH}$ sarebbe riducibile a $\mathbf{NP}$ tramite riduzione randomizzata su due lati. In altre parole avremmo $\mathbf{PH}\subseteq\mathbf{BPP}^{\mathbf{NP}}$ (usando il Teorema di Toda, che afferma che $\mathbf{PH}\subseteq\mathbf{BPP}^{\oplus\mathbf{P}}$ , semplicemente sostituendo $\oplus\mathbf{P}$ con $\mathbf{NP}$ ). Non so se $\mathbf{BPP}^{\mathbf{NP}}$ è stato dimostrato che è contenuto in qualche livello $i$ della Gerarchia polinomiale: se sì, un'ulteriore conseguenza sarebbe che $\mathbf{PH}$ collassi a tale livello $i$ . Inoltre, in base a ipotesi di derandomizzazione ampiamente accettate ( $\mathbf{BPP} = \mathbf{P}$ ), la Gerarchia polinomiale collasserebbe tra il primo e il secondo livello, come avremmo $\mathbf{PH} = \mathbf{P}^\mathbf{NP} = \Delta_2^\mathbf{P}$ (mi hanno detto che non lo è vero, tuttavia non cancellerò questa riga fino a quando non capirò completamente perché).

Se non mi sbaglio, la riduzione di cui sopra sarebbe in realtà rivelarsi più di . Sarebbe dimostrare . Quali sarebbero le conseguenze di , oltre a quelle già implicate da ? Non so esattamente se aggiungerebbe più sorpresa alle conseguenze già sorprendenti di $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{UP}$ $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{UP}$ $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{UP}$ $\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$ , né in quale misura. Intuitivamente presumo che lo sarebbe, e in larga misura.

— Giorgio Camerani
fonte

è chiuso sotto complemento e la riduzione randomizzata di PH a

è molti-uno, quindi

implica effettivamente

, e

\oplus P

$\oplus\mathrm P$

\oplus P

$\oplus\mathrm P$

\oplus P \subseteq N P

$\oplus\mathrm P\subseteq\mathrm{NP}$

P H = Σ_{2}^{P} = Π_{2}^{P} = A M \cap c o A M

$\mathrm{PH}=\Sigma^P_2=\Pi^P_2=\mathrm{AM}\cap\mathrm{coAM}$

P H \subseteq N P / p o l y \cap c o N P / p o l y

$\mathrm{PH}\subseteq\mathrm{NP/poly}\cap\mathrm{coNP/poly}$ . UP non fa molta differenza (vedi la mancanza di qualcosa di utile in cstheory.stackexchange.com/questions/3887 ).

— Emil Jeřábek,

@EmilJeřábek Grazie per il tuo interessante commento, non ne conoscevo le conseguenze. Conoscevo la domanda che mi hai fatto notare, tuttavia mi sarei aspettato che

(così come

) fosse sorprendente, almeno perché

non è noto per avere problemi completi. È interessante notare come non sia noto che qualcosa ampiamente ipotizzato falso (

) abbia, se vero, conseguenze scioccanti. Potresti considerare di espandere il tuo commento in una risposta ...

\oplus P \subseteq U P

$\oplus \mathbf{P}\subseteq\mathbf{UP}$

N P \subseteq U P

$\mathbf{NP}\subseteq\mathbf{UP}$

U P

$\mathbf{UP}$

N P \subseteq U P

$\mathbf{NP}\subseteq\mathbf{UP}$

— Giorgio Camerani,

No, ti sbagli completamente. BPP = P dice solo che ogni linguaggio calcolabile da una macchina BPP è calcolabile anche da una macchina P. Non dice nulla delle lingue calcolabili da una macchina BPP con un oracolo non banale. Secondo il tuo argomento errato, NP = P implica

per ogni

, che sappiamo essere falso, quindi

è risolto. E del resto, il tuo argomento implicherebbe

, poiché esistono oracoli

per i quali

{N P}^{A} = P^{A}

$\mathrm{NP}^A=\mathrm P^A$

A

$A$

N P \neq P

$\mathrm{NP}\ne\mathrm P$

B P P \neq P

$\mathrm{BPP}\ne\mathrm P$

A

$A$

{B P P}^{A} \neq P^{A}

$\mathrm{BPP}^A\ne\mathrm P^A$ .

— Emil Jeřábek,

@Giorgio: afferma solo che il ragionamento che hai considerato non funziona in questa circostanza. Parte pertinente: "Se la macchina alla quale attacco l'oracolo è almeno altrettanto potente, perché non dovrebbe seguire l'inclusione?". Non sembra dire che l'affermazione stessa sia falsa; solo che la tua intuizione particolare non funziona. Non possiamo ancora escludere che aspetti probabilistici del PPTM non possano trarre maggiori benefici da quell'oracolo. Il TM probabilistico ha più strumenti a sua disposizione, ma lo strumento potrebbe non fornire vantaggi rigorosi senza altri (come l'oracolo NP).

— mdxn,

Anche supponendo che esista un PRNG abbastanza forte da far crollare P e BPP, non vedo perché questo debba necessariamente implicare BPP con un oracolo NP e P con un oracolo NP deve essere lo stesso. Normalmente i PRNG hanno la garanzia che nessun circuito polisize può distinguere la loro uscita da bit veramente casuali. Ma per le macchine oracle è necessaria la garanzia per ogni circuito polisize con porte NP consentite, e questo è più forte. Impagliazzo-Wigderson si relativizza, ma è necessario rafforzare l'assunzione della durezza ( eccc.hpi-web.de/report/1998/055/comment/1/download )

— Sasho Nikolov,

Ci sono due insiemi di oracolo definiti T88 tale che ${\bf NP^A \not \subseteq \oplus P ^A}$ e ${\bf \oplus P^B \not \subseteq NP^B}$ .

— Tayfun Pay
fonte

c'è qualche conseguenza in

vale?

P P \subseteq \oplus P

$PP\subseteq\oplus P$

— T ....