Complessità della colorazione dei bordi nei grafici planari

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La colorazione a 3 bordi dei grafici cubici è . Il teorema dei quattro colori equivale a "Ogni grafico planare cubico senza ponte è colorabile a 3 bordi". $NP$

Qual è la complessità della colorazione a 3 bordi dei grafici planari cubi?

Inoltre, si ipotizza che la colorazione -edge sia -hard per i grafici planari con massimo grado {4,5}. $\Delta$ $NP$ $\Delta \in$

Sono stati compiuti progressi nella risoluzione di questa congettura?

Marek Chrobak e Takao Nishizeki. Algoritmi di colorazione dei bordi migliorati per grafici planari. Journal of Algorithms, 11: 102-116, 1990

— Mohammad Al-Turkistany
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La riga 2 nella tabella 1 in dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 non significa che la "colorazione a 3 bordi dei grafici planari cubi" è polinomialmente risolvibile?

— Oleksandr Bondarenko,

La voce della tabella fa riferimento a Robertson, Sanders, Seymour e Thomas Four Coloring paper che si occupa di grafici planari cubi senza ponte .

— Mohammad Al-Turkistany,

+1 ottima domanda, ho un simliar, ma più pratico ...

— draks ...

Ciao, sai se ci sono progressi per colorazioni a 3 bordi su grafici cubici su un doppio toro ?

— Draks ...

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Ogni grafico cubo planare senza ponte può essere tridimensionale nel tempo quadratico, poiché questa attività equivale a quadrare un grafico planare a quattro colori, che può essere eseguito nel tempo quadratico. (Vedi Robertson, Sanders, Seymour e Thomas: http://people.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/fcdir/fcstoc.ps )

EDIT: Come sottolinea Mathieu, i grafici cubici con i ponti non sono mai colorabili a 3 bordi.

— emil
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I grafici cubici con un ponte non sono mai colorabili a 3 bordi. Ciò segue da "Parity Lemma" per esempio vedere l'osservazione sotto Lemma 2.1 in combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1r32.pdf

— Colin McQuillan,

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Per essere precisi, l'equivalenza tra

-edge colorazione e

-coloration significa solo per bridgeless cubi planari grafici.

3

$3$

4

$4$

— Mathieu Chapelle,

@Emil, non vedo come significherebbe che i grafici PLANAR cubici con i ponti non sono mai colorabili a 3 bordi.

— Mohammad Al-Turkistany,

@ MohammadAl-Turkistany Dati due colori aeb in una colorazione del bordo d di un grafico d-regolare (d> = 2), il sottografo indotto dai bordi colorati aob è un'unione disgiunta di cicli pari. Da ciò segue il Lemma di parità: Se X è un sottoinsieme proprio non vuoto di V (G) e F è il taglio indotto da X, quindi per tutti i colori aeb, la parità del numero di bordi di X colorati a è uguale alla parità del numero di spigoli di X colorato b. Ergo, qualsiasi grafico d-regolare (d> = 2) con un ponte non può essere d-edge-color-colorable, indipendentemente dal fatto che sia planare o meno.

— Leandro Zatesko,

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Anche la colorazione a 3 bordi di grafici senza triangolo con massimo grado 3 è NP-completa, vedere 10.1016 / S0096-3003 (96) 00021-5.

— Diamantis Koreas
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Potresti trovare questo documento di interesse:

http://cs.nyu.edu/cole/papers/edge_col.pdf

— Joseph Malkevitch
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In alternativa, dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 Strano che questo sia uno dei primi successi quando si google <grafici planari per colorare i bordi>.

— RJK