P è uguale all'intersezione di tutte le classi temporali superpolinomiali?

Chiamiamo una funzione superpolinomiale se vale per ogni . $f(n)$ $\lim_{n\rightarrow\infty} n^c/f(n)=0$ $c>0$

È chiaro che per qualsiasi lingua $L\in {\mathsf P}$ sostiene che $L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ per ogni tempo superpolinomiale legato $f(n)$ . Mi chiedo, se è vero anche il contrario di questa affermazione? Cioè, se conosciamo $L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ per ogni limite di tempo superpolinomiale $f(n)$ , implica $L\in {\mathsf P}$ ? In altre parole, è vero che

P = \cap_{f} D T I M E (f (n))

${\mathsf P} = \cap_f {\mathsf {DTIME}}(f(n))$ dove l'intersezione viene presa su ogni superpolinomiale

f (n)

$f(n)$ .

cc.complexity-theory ds.algorithms complexity-classes

— Andras Farago
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Un consiglio generale sulla scrittura di domande è che dovresti fare della tua domanda (dichiarata nel modo più semplice per capire) il tuo titolo.

— Kaveh,

Sì.

In effetti, dal Teorema dell'Unione McCreight-Meyer (Teorema 5.5 di McCreight e Meyer, 1969 , versione gratuita qui ) ~~un risultato di ciò che credo sia dovuto a Manuel Blum~~ , esiste un'unica funzione $f$ tale che $\mathsf{P} = \mathsf{DTIME}(f(n))$ . Questa funzione è necessariamente superpolinomiale, ma "appena".

Il teorema si applica più in generale a qualsiasi misura di complessità di Blum $\Phi$ e a qualsiasi classe di unione $\bigcup_{f \in S} \mathsf{BLUM}_{\Phi}(f(n))$ dove $S$ è un ce, insieme auto-limitato di funzioni calcolabili totali. (Un insieme di funzioni $S$ è ce se esiste una singola funzione calcolabile parziale $F(i,\vec{x})$ tale che $S = \{f_i(\vec{x}) | i \in \mathbb{N}\}$ dove $f_i(\vec{x}) := F(i,\vec{x})$ . significa che per ogni sottoinsieme finito $S_0 \subset S$ , esiste una funzione in $S$ che domina tutti $g \in S_0$ quasi ovunque. " $\mathsf{BLUM}_{\Phi}$ "è una notazione che non ho mai visto prima, ma mi piace :) - Lo sto usando per l' analogo $\Phi$ -bounded di una classe di complessità limitata nel tempo.)

— Joshua Grochow
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Penso che il problema sia che

f

$f$ non è costruibile nel tempo.

— Sasho Nikolov,

Josh, il risultato di Manuel usa qualcosa di speciale nel tempo polinomiale? Voglio dire, si applica anche a classi sindacali simili?

— Kaveh,

Trovo affascinante il fatto seguente: sebbene ovviamente non vi sia la più piccola funzione superpolinomiale, tuttavia esiste una classe di complessità più piccola tra quelle definite da un limite temporale superpolinomiale. Inoltre, questa classe è uguale a P, in cui nulla è superpolinomiale.

— Andras Farago,

@AndrasFarago: È davvero affascinante, ma (penso) non più strano del teorema di Gap Borodin-Trakhtenbrot ( en.wikipedia.org/wiki/Gap_theorem ).

— Joshua Grochow,

@SashoNikolov: dovrei pensare di più a quello, ma dopo un solo momento penso che abbia più a che fare con il fatto che si può simulare / diagonalizzare le TM, che ha più a che fare con la loro natura numerabile e il esistenza di macchine universali ... In particolare, gli assiomi per una misura di complessità di Blum richiedono che le varie funzioni che definiscono la misura di Blum siano calcolabili o parzialmente calcolabili, e questo è fondamentale in tutti questi teoremi. E nota che McCreight-Meyer richiede che l'insieme S stesso sia un insieme di funzioni, anche chiave.

— Joshua Grochow,