Complessità dei problemi relativi alla permutazione


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Dato un gruppo di permutazioni su e due vettori dove è un alfabeto finito che non è abbastanza rilevante qui, la domanda è se esiste qualche tale che dove mezzi di applicazione della permutazione su in modo prevedibile.[ n ] = { 1 , , n } u , v Γ n Γ π G π ( u ) = v π ( u ) π uG[n]={1,,n}u,vΓnΓπGπ(u)=vπ(u)πu

Supponiamo inoltre che sia dato, come input, da un insieme finito di generatori. Qual è la complessità del problema? In particolare, è in NP?SGS


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Cosa intendi con un gruppo finito di generatori? Come viene rappresentato nell'input?
RB

Penso che un esempio sia: due generatori S1=(12)(3) , S2=(13)(2) e G è il gruppo generato da S1 e S2 .
Maomao,

In generale questo problema sarebbe NP-difficile (probabilmente questo è già stato studiato in alcuni ref di cui non sono a conoscenza). Ciononostante potrebbe interessarti anche Another Another Problem (relativo anche al gioco del sudoku)
Nikos M.

Inoltre questo è un problema inverso (che può essere affrontato in modo MASSIMO a-la Jaynes)
Nikos M.

La domanda non è se sia NP-difficile, ma se sia in NP. Il limite superiore banale è solo PSPACE.
Emil Jeřábek 3.0

Risposte:


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Sia dove è il gruppo di permutazione su elementi. Verifica se può essere eseguito in di [1]. Sia , quindi indovina semplicemente , verifica in tempo polinomiale se e se . Questo produce un limite superiore di .S n n g g 1 , ... , g kNC P u , v y n g S n g G g ( u ) = v NPg1,,gk,gSnSnngg1,,gkNCPu,vΓngSngGg(u)=vNP

Per completare questa risposta:

È stato dimostrato che l'appartenenza al gruppo appartiene a (Furst et al. 1980), quindi a per i gruppi abeliani (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), a per nilpotent gruppi (Luks & McKenzie 1988), gruppi risolubili (Luks & McKenzie 1988), gruppi con fattori di composizione non abelici limitati (Luks 1986), e infine tutti i gruppi (Babai et al. 1987). Una simile classificazione di complessità dell'appartenenza ai monoidi aperiodici deve (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), che mostrano che l'appartenenza a qualsiasi varietà fissa di monoidi aperiodici è in , in , in o inNC 3 NC AC 0 P NP PSPACEPNC3NCAC0PNPPSPACE (e completo per quella classe con pochissime eccezioni).

[1] L. Babai, EM Luks e A. Seress. Gruppi di permutazione in NC. Proc. simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica, pagg. 409-420, 1987.19th


1
La mia risposta era errata e l'ho cancellata (il sottogruppo che ho indicato con N nella mia risposta non era normale in generale). Penso che il problema sia in P (e probabilmente anche in NC), ma al momento non ne ho una prova.
Tsuyoshi Ito,

Non vedo perché la tua risposta sia errata. La permutazione può davvero essere costruita facilmente, quindi l'appartenenza al gruppo in cui i gruppi sono dati come un elenco di generatori è in NC da Babai, Luks & Seress 87.π
Michael Blondin,

1
Una scelta per π può essere costruita facilmente, ma cosa dovremmo fare se questo π non appartiene a G? Probabilmente c'è un modo per trovare il π giusto dall'inizio, ma in questo momento non vedo come farlo.
Tsuyoshi Ito,

Oh, hai ragione. Modificherò la mia risposta al limite superiore NP.
Michael Blondin,

Grazie per la modifica e scusa per aver causato confusione dalla mia risposta errata.
Tsuyoshi Ito,

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Il tuo problema è noto come ( -) stringa G -isomorfismo. Si è in una classe piuttosto ristretta di problemi circa grafi: è almeno duro come GI, ed è in N Pc o A M .ΓGNPcoAM

Riduzione da GI: sia , sia sia l'azione indotta da sulle coppie.N=(n2)GSNSn

G u v u vcoAM : Arthur sceglie casualmente un elemento di (non sono sicuro che questo possa essere fatto esattamente in modo uniforme, ma penso che gli algoritmi conosciuti si avvicinino abbastanza da uniformare per questo risultato) e lo applica sia a che a . Con probabilità 1/2 scambia e , quindi li presenta a Merlin e chiede quale fosse.Guvuv


1
Combinando il mio commento alla risposta di Michael Blondin con la tua risposta, ora ho paura che mi sia accidentalmente impegnato a pensare che GI sia in P (e probabilmente anche in NC).
Tsuyoshi Ito,

-2

Nonostante i miei commenti, aggiungerò anche una risposta.

Nel caso in cui i due vectros dati siano noti per essere una permutazione l'uno dell'altro (e la permutazione è nota / presunta appartenga al dato gruppo ). Quindi la permutazione che trasforma può essere trovata in tempo lineare come tale:Gvu

  1. Allinea i 2 vettori uno sotto l'altro

  2. La permutazione si trova a partire dal 1 ° elemento di che viene trasformato nel 1 ° elemento divu

  3. Prendi la posizione dell'elemento nel passaggio precedente (da in ) e ripeti il ​​passaggio (2), quindi quello è il secondo elemento della permutazione e così via, fino a quando tutti gli elementi vengono attraversati.uv

Quando è noto se i due vettori non sono positivamente permutanti l'uno con l'altro (o per casi più generali in cui possono esserci più trasformazioni, come ad esempio un gioco di sudoku), controllare il Problema di un'altra soluzione che è in genere NP-difficile. Ciò richiede di utilizzare alcune trasformazioni di simmetria (ad esempio permutazioni) che soddisfano i vincoli di un determinato problema per generare un'altra soluzione del problema data una soluzione iniziale.

Inoltre, questo fa parte dei problemi noti come Inverse Problems (a-la Jaynes)


1
Non vi è alcun motivo per cui la permutazione trovata in questo modo dovrebbe essere nel gruppo dato . G
Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek, hmm, ho perso questa parte, tuttavia questa parte della risposta presume che sia così (per le pupille illustrative di un algoritmo lineare), modificheremo la risposta
Nikos M.

Controllare se esiste qualche mappatura di permutazione da a (oltre a connotare tale permutazione), è banale: basta contare quante volte ogni simbolo compare in entrambe le parole. uv
Emil Jeřábek 3.0

1
Se non è una permutazione di , la risposta all'istanza è no, altrimenti tale permutazione può essere calcolata nello spazio di log. Tuttavia, non risolve il problema, come potrebbe non essere in . Con le tue attuali assunzioni, supponi che ogni istanza sia un'istanza sì, che può quindi essere banalmente decisa in tempo costante. Non sono sicuro di come rispondi alla domanda. uvππG
Michael Blondin,

2
Non hai fornito prove per l'affermazione che il problema è NP-hard o che ha qualcosa a che fare con ASP. Secondo la risposta di Joshua Grochow, il problema non è NP-difficile a meno che la gerarchia polinomiale non collassi al secondo livello (AM = coAM, per essere precisi).
Emil Jeřábek 3.0
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