Complessità dei problemi relativi alla permutazione

Dato un gruppo di permutazioni su e due vettori dove è un alfabeto finito che non è abbastanza rilevante qui, la domanda è se esiste qualche tale che dove mezzi di applicazione della permutazione su in modo prevedibile.[ n ] = { 1 , ⋯ , n } u , v ∈ Γ n Γ π ∈ G π ( u ) = v π ( u ) π $G$$[n]=\{1, \cdots, n\}$$u,v\in \Gamma^n$$\Gamma$$\pi\in G$$\pi(u)=v$$\pi(u)$$\pi$$u$

Supponiamo inoltre che sia dato, come input, da un insieme finito di generatori. Qual è la complessità del problema? In particolare, è in NP?$G$$S$

Sia dove è il gruppo di permutazione su elementi. Verifica se può essere eseguito in di [1]. Sia , quindi indovina semplicemente , verifica in tempo polinomiale se e se . Questo produce un limite superiore di .S n n g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ NC ⊆ P u , v ∈ y n g ∈ S n g ∈ G g ( u ) = v $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$$g(u) = v$$\text{NP}$

Per completare questa risposta:

È stato dimostrato che l'appartenenza al gruppo appartiene a (Furst et al. 1980), quindi a per i gruppi abeliani (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), a per nilpotent gruppi (Luks & McKenzie 1988), gruppi risolubili (Luks & McKenzie 1988), gruppi con fattori di composizione non abelici limitati (Luks 1986), e infine tutti i gruppi (Babai et al. 1987). Una simile classificazione di complessità dell'appartenenza ai monoidi aperiodici deve (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), che mostrano che l'appartenenza a qualsiasi varietà fissa di monoidi aperiodici è in , in , in o inNC 3 NC AC 0 P NP $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (e completo per quella classe con pochissime eccezioni).

[1] L. Babai, EM Luks e A. Seress. Gruppi di permutazione in NC. Proc. simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica, pagg. 409-420, 1987.$19^\text{th}$

Il tuo problema è noto come ( -) stringa G -isomorfismo. Si è in una classe piuttosto ristretta di problemi circa grafi: è almeno duro come GI, ed è in N P ∩ c o A M .$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Riduzione da GI: sia , sia sia l'azione indotta da sulle coppie.$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

G u v u $\mathsf{coAM}$ : Arthur sceglie casualmente un elemento di (non sono sicuro che questo possa essere fatto esattamente in modo uniforme, ma penso che gli algoritmi conosciuti si avvicinino abbastanza da uniformare per questo risultato) e lo applica sia a che a . Con probabilità 1/2 scambia e , quindi li presenta a Merlin e chiede quale fosse.$G$$u$$v$$u$$v$

Nonostante i miei commenti, aggiungerò anche una risposta.

Nel caso in cui i due vectros dati siano noti per essere una permutazione l'uno dell'altro (e la permutazione è nota / presunta appartenga al dato gruppo ). Quindi la permutazione che trasforma può essere trovata in tempo lineare come tale:$G$$v \to u$

1. Allinea i 2 vettori uno sotto l'altro

2. La permutazione si trova a partire dal 1 ° elemento di che viene trasformato nel 1 ° elemento di$v$$u$

3. Prendi la posizione dell'elemento nel passaggio precedente (da in ) e ripeti il ​​passaggio (2), quindi quello è il secondo elemento della permutazione e così via, fino a quando tutti gli elementi vengono attraversati.$u$$v$

Quando è noto se i due vettori non sono positivamente permutanti l'uno con l'altro (o per casi più generali in cui possono esserci più trasformazioni, come ad esempio un gioco di sudoku), controllare il Problema di un'altra soluzione che è in genere NP-difficile. Ciò richiede di utilizzare alcune trasformazioni di simmetria (ad esempio permutazioni) che soddisfano i vincoli di un determinato problema per generare un'altra soluzione del problema data una soluzione iniziale.

Inoltre, questo fa parte dei problemi noti come Inverse Problems (a-la Jaynes)