Branca dell'informatica teorica orientata all'algebra

Ho una base molto forte in algebra, vale a dire

• algebra commutativa,
• algebra omologica,
• teoria dei campi,
• teoria delle categorie,

e attualmente sto imparando la geometria algebrica.

Sono una laureata in matematica con la tendenza a passare all'informatica teorica. Tenendo presente i campi sopra menzionati, quale campo sarebbe il campo più appropriato in informatica teorica a cui passare? Cioè, in quale campo la teoria e la maturità matematica ottenute perseguendo i campi di cui sopra possono essere utilizzate a proprio vantaggio?

Ci sono stati recenti sviluppi nella teoria dei tipi dipendenti che mettono in relazione i sistemi di tipi con i tipi di omotopia .

Questo è ora un campo relativamente piccolo, ma c'è molto lavoro eccitante in corso in questo momento, e potenzialmente un sacco di frutti a bassa pendenza, in particolare nel porting dei risultati della topologia algebrica e dell'algebra omologica e nella formalizzazione della nozione di tipi induttivi superiori .

La geometria algebrica è ampiamente utilizzata nella teoria della complessità algebrica e in particolare nella teoria della complessità geometrica. Anche la teoria della rappresentazione è cruciale per quest'ultima, ma è ancora più utile se combinata con la geometria algebrica e l'algebra omologica.

La tua conoscenza della teoria dei campi sarebbe utile nella crittografia, mentre la teoria delle categorie è ampiamente utilizzata nella ricerca sui linguaggi di programmazione e sui sistemi di tipizzazione, entrambi strettamente collegati ai fondamenti della matematica.

La teoria dei campi e la geometria algrebraica sarebbero utili negli argomenti relativi ai codici di correzione degli errori, sia nell'impostazione classica che nello studio dei codici decodificabili localmente e nella decodifica degli elenchi. Credo che questo ritorni al lavoro sui codici Reed-Solomon e Reed-Muller, che furono poi generalizzati a codici geometrici algebrici. Si veda ad esempio questo capitolo del libro sulla teoria classica della teoria dei codici dei codici geometrici algebrici, questo breve sondaggio sui codici decodificabili localmente e questo famoso articolo sulla decodifica di elenchi Reed-Solomon e, più in generale, i codici di geometria algebrica.

Ci sono alcuni problemi nella teoria dell'apprendimento computazionale, nell'apprendimento automatico e nella visione computerizzata che possono essere risolti usando l'algebra commutativa e la geometria algebrica. Ad esempio, la convergenza dell'algoritmo di propagazione del credo, un algoritmo di passaggio di messaggi per l'inferenza bayesiana, può essere formulata in termini di caratterizzazione della varietà affine del sistema di equazioni polinomiali .

Hai pensato di guardare l'algebra del computer? Axiom è un sistema di algebra del computer in cui il sistema di tipi è modellato sulla base della teoria delle categorie (o Algebra universale, a seconda della vista). Esistono altri due derivati ​​di Axiom FriCAS e OpenAxiom .

Se sei interessato alla teoria delle categorie, il sistema dei tipi potrebbe essere una cosa da guardare.

In Axiom, ogni "elemento" (ad esempio "1", "5 * x ** 2 + 1") è un elemento di un dominio. Un "Dominio" è un oggetto Axiom dichiarato membro di una particolare Categoria (ad es. Intero, polinomiale (intero). Una categoria Axiom è un oggetto Axiom dichiarato membro del simbolo distinto "Categoria" (ad es. Ring, Polinomio (R, E, V)).

Esiste un reticolo di ereditarietà per l'ereditarietà multipla tra le Categorie. ad esempio, la categoria Monade eredita da SetCategory, Monoid da Monad, Group da Monoid, ecc., ecc.

C'è anche un polimorfismo di ordine superiore, un po 'come Generics in Java.

Diverse azioni all'interno di Axiom possono essere viste come Functor, ma sarebbe piuttosto molto da approfondire qui!

Se desideri semplicemente utilizzare Axiom senza preoccuparti della teoria delle categorie, come un tipico utente finale, un sistema di calcolo simbolico è esattamente il software giusto per esaminare le singole algebre.

$L \subseteq X^{\ast}$

Le seguenti persone hanno usato questa visione algebrica nel caso delle lingue normali: Samuel Eilenberg sulla teoria degli automi, Jean Berstel , perno di Jean-Eric , Marcel Schützenberg e teoria di Krohn-Rodi .

Inoltre, nel lavoro intorno alla congettura di Cerny è coinvolta un'algebra non banale , la maggior parte di essa è piuttosto combinatoria. Ma più recentemente ho visto di più con l'algebra lineare, la teoria degli anelli e la teoria della rappresentazione, ho guardato in alto per lavorare Benjamin Steinberg e Jorge Almeida .

A proposito, puoi andare abbastanza bene in queste aree con la teoria dei semigruppi, dei monoidi e dei gruppi, ma la teoria delle categorie e la teoria dell'omotopia non sono molto utilizzate in quest'area. Ma forse interessante notare che S. Eilenberg era uno dei padri fondatori della teoria delle categorie, nonostante ciò fosse prima che fosse coinvolto nella teoria degli automi.

La tesi di Brent Yorgey , pur essendo ancora una bozza, fa un ottimo lavoro nello spiegare perché i tuoi interessi sono rilevanti per TCS.

Ecco il discorso di Joyal lo scorso aprile su materiale correlato.

Non so se hai considerato l'industria, ma la società Ayasdi sta facendo un lavoro straordinario applicando molta omotopia e altri metodi topologici applicati nella scienza dei dati. Mescolano molta teoria e applicazioni. Fondamentalmente, per vedere cosa stanno facendo, guarda il sito web di Stanford Comptop. (La maggior parte delle persone veniva da lì).

Oltre a ciò che hanno detto tutti gli altri (immagino che la più grande applicazione di questi rami sia proprio nei sistemi di tipo):

• La teoria reticolare e gli ordini parziali in generale vengono applicati abbastanza per l'analisi del comportamento dei sistemi distribuiti e per l'analisi del flusso di dati nei compilatori.
• Ho anche visto le connessioni Galois applicate all'apprendimento automatico (in particolare la classificazione del testo: la connessione Galois tra sottoinsiemi di vertici sinistro e destro di un documento bipartito / grafico di parole ha permesso di velocizzare notevolmente un algoritmo).

Le connessioni tra Algebra e Teoretical Computer Science sono molto forti. Nic Doye ha già menzionato Computer Algebra, ma non ha esplicitamente incluso la teoria dei sistemi di riscrittura, che è una parte essenziale di Computer Algebra, con applicazioni nella risoluzione automatica delle equazioni e ragionamento automatico. I sistemi di riscrittura delle stringhe sono un'importante sotto-area, con applicazioni nella teoria dei gruppi computazionali. Controlla il libro "String Rewriting Systems", di Ronald Book e Friedrich Otto, per esempio.

Esiste anche la connessione tra la teoria dei grafi e l'algebra, che include ad esempio la teoria spettrale ben sviluppata dei grafici e delle reti complesse, e anche la teoria delle simmetrie dei grafi (grappoli di Cayley, grafici transitori di vertici e altri tipi di grafici simmetrici , che sono ampiamente utilizzati come modelli per reti di interconnessione in computer paralleli). Controlla il libro "Algebraic Graph Theory", di Chris Godsil e Gordon Royle, per una panoramica dei diversi argomenti.

Scopri la situazione nella visione artificiale. Esistono molti argomenti, in particolare, di tipo algoritmico, per i quali le prime tre aree elencate sono molto utili.