Cosa separa i problemi globali facili dai problemi globali difficili sui grafici della larghezza degli alberi limitata?

Un sacco di problemi con i grafici è risolvibile in tempi polinomiali su grafici con larghezza degli alberi limitata . In effetti, i libri di testo in genere usano ad esempio un set indipendente come esempio, che è un problema locale . All'incirca, un problema locale è un problema la cui soluzione può essere verificata esaminando un piccolo quartiere di ogni vertice.

È interessante notare che anche i problemi (come il percorso Hamiltoniano) di natura globale possono ancora essere risolti in modo efficiente per i grafici limitati della larghezza degli alberi. Per tali problemi, i soliti algoritmi di programmazione dinamica devono tenere traccia di tutti i modi in cui la soluzione può attraversare il corrispondente separatore della decomposizione dell'albero (vedere ad esempio [1]). Algoritmi randomizzati (basati sul cosiddetto cut'n'count) sono stati dati in [1] e algoritmi migliorati (anche deterministici) sono stati sviluppati in [2].

Non so se sia giusto dire che molti, ma almeno alcuni problemi globali possono essere risolti in modo efficiente per i grafici della larghezza degli alberi limitata. E che dire dei problemi che rimangono difficili su tali grafici? Presumo che siano anche di natura globale, ma cos'altro? Cosa separa questi difficili problemi globali dai problemi globali che possono essere risolti in modo efficiente? Ad esempio, come e perché i metodi noti non potrebbero fornirci algoritmi efficienti per loro?

Ad esempio, si potrebbero considerare i seguenti problemi:

Bordo estensione precoloring Dato un grafo con alcuni bordi colorati, decidere se questa colorazione può essere esteso ad una corretta -edge colorazione del grafico .k $G$$k$$G$

L'estensione della precolorazione del bordo (e la sua variante di colorazione del bordo dell'elenco) è NP-completa per i grafici paralleli serie bipartite [3] (tali grafici hanno al massimo 2).

Colorazione minima del bordo della somma Dato un grafico , trova una colorazione del bordo tale che se ed hanno un vertice comune, allora . L'obiettivo è ridurre al minimo , la somma della colorazione.χ : E → N e 1 e 2 χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) E ′ χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

In altre parole, dobbiamo assegnare numeri interi positivi ai bordi di un grafico in modo tale che i bordi adiacenti ricevano numeri interi diversi e la somma dei numeri assegnati sia minima. Questo problema è NP-difficile per i 2 alberi parziali [4] (ovvero i grafici della larghezza degli alberi al massimo 2).

Altri problemi così difficili comprendono il problema dei percorsi disgiunti ai bordi, il problema dell'isomorfismo del sottografo e il problema della larghezza di banda (vedere ad esempio [5] e i relativi riferimenti). Per problemi che rimangono difficili anche sugli alberi, vedi questa domanda .

[1] Cygan, M., Nederlof, J., Pilipczuk, M., van Rooij, JM e Wojtaszczyk, JO (2011, ottobre). Risolvere i problemi di connettività parametrizzati dalla larghezza dell'albero in un singolo tempo esponenziale. In Foundations of Computer Science (FOCS), 52 ° simposio annuale IEEE 2011 su (pagine 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S. e Nederlof, J. (2013). Algoritmi deterministici a tempo esponenziale singolo per problemi di connettività parametrizzati dalla larghezza degli alberi. In automi, lingue e programmazione (pagg. 196-207). Springer Berlin Heidelberg.

[3] Marx, D. (2005). NP-completezza della colorazione dell'elenco e estensione precolorante sui bordi dei grafici planari. Journal of Graph Theory, 49 (4), 313-324.

[4] Marx, D. (2009). Risultati di complessità per la colorazione del bordo di somma minima. Matematica applicata discreta, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J., & Zhou, X. (2001). Il problema dei percorsi edge-disjoint è NP-complete per grafici serie-paralleli. Matematica applicata discreta, 115 (1), 177-186.

La maggior parte degli algoritmi per i grafici della larghezza degli alberi limitata si basa su una qualche forma di programmazione dinamica. Perché questi algoritmi siano efficienti, dobbiamo limitare il numero di stati nella tabella di programmazione dinamica: se si desidera un algoritmo a tempo polinomiale, è necessario un numero polinomiale di stati (ad esempio, n ^ tw), se si desidera mostra che il problema è FPT, di solito vuoi mostrare che il numero di stati è una funzione della larghezza dell'albero. Il numero di stati corrisponde in genere al numero di diversi tipi di soluzioni parziali quando si rompe il grafico in un piccolo separatore. Quindi un problema è facile sui grafici a larghezza di albero limitata di solito perché le soluzioni parziali che interagiscono con il mondo esterno attraverso un numero limitato di vertici hanno solo un numero limitato di tipi. Per esempio, nel problema dell'insieme indipendente il tipo di soluzione parziale dipende solo da quali vertici di confine sono selezionati. Nel problema del ciclo hamiltoniano, il tipo di soluzione parziale è descritto da come i sottotracciati della soluzione parziale abbinano i vertici del confine tra loro. Varianti del teorema di Courcelle forniscono condizioni sufficienti affinché un problema abbia la proprietà che le soluzioni parziali abbiano solo un numero limitato di tipi.

Se un problema è difficile nei grafici con larghezza di albero limitata, di solito è a causa di uno dei tre seguenti motivi.

1. Esistono interazioni nel problema non acquisite dal grafico. Ad esempio, Steiner Forest è NP-hard sui grafici della larghezza degli alberi 3, intuitivamente perché le coppie sorgente-destinazione creano interazioni tra vertici non adiacenti.

Elisabeth Gassner: The Steiner Forest Problem rivisitato. J. Discrete Algorithms 8 (2): 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: schemi di approssimazione per la foresta di Steiner su grafici planari e grafici di larghezza dell'albero limitata. J. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. Il problema è definito ai bordi del grafico. Quindi anche se una parte del grafico è collegata al resto del grafico tramite un numero limitato di vertici, potrebbero esserci molti spigoli incidenti a quei pochi vertici e quindi lo stato di una soluzione parziale può essere descritto solo descrivendo lo stato di tutti questi bordi. Questo è ciò che ha reso difficili i problemi in [3,4].

3. Ogni vertice può avere un gran numero di stati diversi. Ad esempio, la copertura del vertice condensato è W [1] parametrizzata per larghezza di albero, intuitivamente perché la descrizione di una soluzione parziale implica non solo indicare quali vertici del separatore sono stati selezionati, ma anche indicare quante volte ogni vertice selezionato del separatore era usato per coprire i bordi.

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger: dominio dominato e copertura: una prospettiva parametrizzata. IWPEC 2008: 78-90

Il mio suggerimento sarebbe di esaminare attentamente il teorema di Courcelle , secondo cui i problemi manifestabili in (alcune estensioni della) logica monadica del secondo ordine hanno algoritmi FPT se parametrizzati dalla larghezza degli alberi. Il mio sospetto è che questo copra molti o la maggior parte degli esempi noti di problemi di FPT per questi grafici. In questa prospettiva, la tua distinzione locale / globale sembra essere strettamente correlata alla distinzione tra problemi manifestabili in MSO esistenziali e problemi che hanno livelli più elevati di quantificazione nelle loro formulazioni MSO. Per tornare alla tua vera domanda, la mancanza di una formulazione MSO (che può essere dimostrata incondizionatamente in molti casi usando idee relative al teorema di Myhill – Nerode ) sarebbe la prova della mancanza di un algoritmo FPT (più difficile da dimostrare senza ipotesi teoriche di complessità).

Penso che uno di questi esempi sia il problema del taglio più raro. Il problema uniforme del taglio più sparso è risolvibile su grafici con larghezza dell'albero limitata, ma il problema del taglio più sparso ponderato non è nemmeno approssimabile (meglio di 17/16) nei grafici della larghezza dell'albero limitata.

Esistono molte varianti del problema di taglio più raro, ma una delle più note è la seguente.

w : E ( G ) → N E ( S , V ∖ S ) ⊆ E ( G ) S ⊂ V W ( E ( S , V ∖ S ) $G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

L'ingrediente principale è composto da due cose:

1. Funzioni aggiuntive, come qui la funzione peso. Ma ci sono ancora alcuni problemi con la funzione di peso che non sono molto difficili nei grafici non indirizzati della larghezza dell'albero limitato.

2. La natura del problema di taglio più raro. In realtà esistenza di più di una dipendenza per la programmazione dinamica nella definizione del problema. Intuitivamente, la buona soluzione è quella di partizionare un grafico (rimuovendo alcuni bordi) in due dimensioni quasi uguali, d'altra parte in questa partizione eliminiamo il minor numero di bordi che usiamo. La ragione per cui il problema è difficile nel grafico della larghezza dell'albero limitato è che dovremmo applicare la programmazione dinamica in due direzioni, ma entrambe le direzioni dipendono l'una dall'altra.

In generale, se il problema è in modo tale da richiedere più di una dimensione per la programmazione dinamica e anche quelle dimensioni dipendono l'una dall'altra, il problema ha il potenziale di essere duro nei grafici della larghezza dell'albero limitato. Possiamo vedere questo schema sia nei problemi della domanda che nel problema del taglio più raro. (Nel primo problema vogliamo mantenere la colorazione precedente d'altra parte mantenere la colorazione il più piccola possibile, nel secondo problema ovviamente ci sono due funzioni che sono dipendenti l'una dall'altra)