Complessità del problema dell'intersezione del coset

Dato il gruppo di simmetria e due sottogruppi G , H ≤ S n e π ∈ S n , vale G π ∩ H = ∅ ?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

Per quanto ne so, il problema è noto come problema di intersezione del coset. Mi chiedo quale sia la complessità? In particolare, questo problema è noto per essere in coAM?

Inoltre, se è limitato ad essere abeliano, che cosa diventa la complessità?$H$

Tempo moderatamente esponenziale e (per l'opposto del problema, come affermato: l'intersezione di Coset è generalmente considerata avere una risposta "sì" se i cosets si intersecano, al contrario di come è dichiarato nel QO.)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( copia gratuita dell'autore ) ha dato un algoritmo -time, mentre Babai (vedi la sua tesi di dottorato del 1983, anche Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 e una versione apparente del diario) ha dato un 2 ˜ O ( $2^{O(n)}$algoritmo -time, che rimane il più conosciuto fino ad oggi. Poiché grafi riduce all'intersezione coset quadratica dimensioni, migliorando questo per2 ~ O (n 1 / 4 - ε$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$ migliorerebbe lo stato dell'arte per grafi.

Considera il complemento, ovvero dove ti viene chiesto di verificare se . Come ho sottolineato in questa risposta , verificando se g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ a dire in NC ⊆ P [1]. Quindi puoi indovinare g , h ∈ S n e testare in tempo polinomiale se g ∈ G , h ∈ H e g π = h . Questo produce un $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$limite superiore e, quindi, il problema è in .$\text{coNP}$

Modifica : è mostrato in [2, Thm. 15] che il problema dell'intersezione del coset è in . Come notato qui , p. 7, il problema dell'intersezione del coset non è quindi NP-completo, a meno che la gerarchia temporale polinomiale non collassi. Inoltre, si nota qui , p. 6, che Luks ha dimostrato che il problema è in P quando H è risolvibile, tra cui il caso di H abelian.$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks e A. Seress. Gruppi di permutazione in NC . Proc. 19o simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica, pagg. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Giochi Arthur-Merlin: un sistema di prove randomizzato e una gerarchia di classi di complessità . Journal of Computer and System Sciences, vol. 36, numero 2, pagg. 254-276, 1988.