Complessità del problema dell'intersezione del coset


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Dato il gruppo di simmetria e due sottogruppi G , H S n e π S n , vale G π H = ?Snsol,HSnπSnGπH=

Per quanto ne so, il problema è noto come problema di intersezione del coset. Mi chiedo quale sia la complessità? In particolare, questo problema è noto per essere in coAM?

Inoltre, se è limitato ad essere abeliano, che cosa diventa la complessità?H


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Come vengono rappresentati i due gruppi come input?
Emil Jeřábek sostiene Monica il

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per convenzione, sono dati da gruppi di generatori.
Maomao,

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Il problema dell'intersezione del coset è in genere espresso in modo opposto: la risposta è sì se si intersecano. È questa versione del problema che è in . NPcoAM
Joshua Grochow,

Una nota a margine interessante, che non invalida nulla di quanto sopra: isomorfismo grafico, intersezione del coset e isomorfismo delle stringhe sono stati tutti oggetto di un nuovo risultato descritto da Babai per la prima volta in un seminario un paio di giorni fa. Nessuna pubblicazione ancora, ma sembra che ora ci sia un algoritmo quasi polinomiale per tutti loro.
Perry,

Risposte:


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Tempo moderatamente esponenziale e (per l'opposto del problema, come affermato: l'intersezione di Coset è generalmente considerata avere una risposta "sì" se i cosets si intersecano, al contrario di come è dichiarato nel QO.)coAM

Luks 1999 ( copia gratuita dell'autore ) ha dato un algoritmo -time, mentre Babai (vedi la sua tesi di dottorato del 1983, anche Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 e una versione apparente del diario) ha dato un 2 ˜ O ( 2O(n)algoritmo -time, che rimane il più conosciuto fino ad oggi. Poiché grafi riduce all'intersezione coset quadratica dimensioni, migliorando questo per2 ~ O (n 1 / 4 - ε )2O~(n)2O~(n1/4-ε) migliorerebbe lo stato dell'arte per grafi.


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Considera il complemento, ovvero dove ti viene chiesto di verificare se . Come ho sottolineato in questa risposta , verificando se g g 1 , ... , g k a dire in NC P [1]. Quindi puoi indovinare g , h S n e testare in tempo polinomiale se g G , h H e g π = h . Questo produce un NPsolπHgg1,...,gKNCPg,hSngsolhHgπ=hNPlimite superiore e, quindi, il problema è in .CONP

Modifica : è mostrato in [2, Thm. 15] che il problema dell'intersezione del coset è in . Come notato qui , p. 7, il problema dell'intersezione del coset non è quindi NP-completo, a meno che la gerarchia temporale polinomiale non collassi. Inoltre, si nota qui , p. 6, che Luks ha dimostrato che il problema è in P quando H è risolvibile, tra cui il caso di H abelian.NPCOAMPHH

[1]  L. Babai, EM Luks e A. Seress. Gruppi di permutazione in NC . Proc. 19o simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica, pagg. 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Giochi Arthur-Merlin: un sistema di prove randomizzato e una gerarchia di classi di complessità . Journal of Computer and System Sciences, vol. 36, numero 2, pagg. 254-276, 1988.


molte grazie per la risposta. Per il caso H è un sottogruppo normale, è chiaro. Tuttavia, se H è solo abeliano, non è molto chiaro per me. Fa ancora tenere? (scusate la mia stupidità ...)solH= <St:SS,tT>
maomao

Mio male, il mio cervello ha mescolato "normale" e "risolvibile" per un momento. Mi dispiace. Ho modificato la risposta, spero che risponda alla tua domanda.
Michael Blondin,

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Quando H è un normale sottogruppo di G, il problema dell'intersezione del coset è molto più semplice: si riduce solo al problema dell'appartenenza (è in G). π
Joshua Grochow,

Bene, grazie. Quella parte della mia risposta è praticamente senza valore allora.
Michael Blondin,

Ho rimosso il paragrafo, era solo confuso.
Michael Blondin,
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