Test di proprietà in altre metriche?

Esiste una vasta letteratura sul "test delle proprietà": il problema di eseguire un piccolo numero di query in black box su una funzione per distinguere tra due casi:$f\colon\{0,1\}^n \to R$

1. $f$ è un membro di una classe di funzioni$\mathcal{C}$

2. $f$ è -far da ogni funzione nella classe .$\varepsilon$$\mathcal{C}$

L'intervallo della funzione è talvolta booleano: , ma non sempre.$R$$R = \{0,1\}$

Qui, -far viene generalmente considerato come distanza di Hamming: la frazione di punti di che dovrebbe essere cambiata per mettere in classe . Questa è una metrica naturale se ha un intervallo booleano, ma sembra meno naturale se l'intervallo è detto a valore reale.$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

La mia domanda: esiste una parte della letteratura sui test di proprietà che verifica la vicinanza a una classe rispetto ad altre metriche?$\mathcal{C}$

Si C'è! Darò tre esempi:

1. Dato un set S e una "tabella di moltiplicazione" su S x S, considera il problema di determinare se l'input descrive un gruppo abeliano o se è lontano da uno. Friedl, Ivanyos e Santha in STOC '05 hanno mostrato che esiste un tester di proprietà con poligono di complessità della query (| S |) quando la misura della distanza è rispetto alla distanza di modifica delle tabelle di moltiplicazione che consente l'aggiunta e la cancellazione di righe e colonne da la tabella di moltiplicazione. Lo stesso problema è stato preso in considerazione anche nel modello di distanza di Hamming da Ergun, Kannan, Kumar, Rubinfeld e Viswanathan (JCSS '00) dove hanno mostrato la complessità della query di O ~ (| S | ^ {3/2}).

2. Vi è una grande quantità di lavoro svolto sul test delle proprietà dei grafici in cui i grafici sono rappresentati utilizzando gli elenchi di adiacenza e c'è un limite sul grado di ciascun vertice. In questo caso, il modello di distanza non è esattamente la distanza di Hamming ma piuttosto quanti spigoli possono essere aggiunti o eliminati preservando il limite dei gradi.

3. Nello studio strettamente correlato delle proprietà di prova delle distribuzioni, sono state studiate varie nozioni di distanza tra le distribuzioni. In questo modello, l'input è una distribuzione di probabilità su un set e l'algoritmo vi accede campionando dal set in base alla distribuzione sconosciuta. L'algoritmo è quindi necessario per determinare se la distribuzione soddisfa una proprietà o è "lontana" da essa. Varie nozioni di distanza sono state studiate qui, come L_1, L_2, movimento terra. Anche qui sono state studiate le distribuzioni di probabilità su domini infiniti ( Adamaszek-Czumaj-Sohler, SODA '10 ).

Di solito non è chiamato test di proprietà (e in realtà non lo è), ma c'è un ampio corpus di lavoro nel decidere le proprietà di una matrice guardando un piccolo indotto minore. Questo è molto simile all'obiettivo nel test delle proprietà. Vedi ad esempio l'articolo di Rudelson e Vershynin:

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1255449

Ci sono documenti precedenti di Frieze-Kannan. Il punto è che in genere la metrica che usano è una norma matriciale come la norma spettrale, la norma frobenius o la norma di taglio. Se lo desideri, puoi pensare ad alcuni di questi risultati come algoritmi di test delle proprietà in una metrica diversa dalla distanza di Hamming.

$f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

$L_p$

$L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

$L_p$

$k$