Soddisfazione del primo ordine che non ha modelli finiti

Dal teorema di Church sappiamo che determinare la soddisfacibilità del primo ordine in generale è indecidibile, ma ci sono diverse tecniche che possiamo usare per determinare la soddisfacibilità del primo ordine. Il più ovvio è cercare un modello finito. Tuttavia, ci sono un certo numero di affermazioni nella logica del primo ordine che possiamo dimostrare non hanno modelli finiti. Ad esempio, qualsiasi dominio in cui opera una funzione iniettiva e non suriettiva è infinito.

Come possiamo dimostrare la soddisfacibilità per le dichiarazioni del primo ordine in cui non esistono modelli finiti o l'esistenza di modelli finiti è sconosciuta? Nel dimostrare il teorema automatizzato possiamo determinare la soddisfacibilità in diversi modi:

Possiamo annullare la frase e cercare una contraddizione. Se ne viene trovato uno, dimostriamo la validità del primo ordine della dichiarazione e quindi la soddisfacibilità.
Usiamo la saturazione con risoluzione ed esauriamo le inferenze. Più spesso, avremo un'infinità di inferenze da fare, quindi questo non è affidabile.
Possiamo usare la forzatura, che presuppone l'esistenza di un modello e anche la coerenza della teoria.

Non conosco nessuno che stia implementando la forzatura come tecnica meccanizzata per dimostrare il teorema automatizzato, e non sembra facile, ma sono interessato se è stato fatto o tentato, poiché è stato usato per dimostrare l'indipendenza per una serie di affermazioni nella teoria degli insiemi, che a sua volta non ha modelli finiti.

Esistono altre tecniche note per la ricerca della soddisfacibilità del primo ordine applicabili al ragionamento automatico o qualcuno ha lavorato su un algoritmo di forzatura automatizzata?

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— dezakin
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L'approccio Infinox potrebbe essere pertinente alla tua domanda (senza rispondere). L'idea è di usare i dimostratori di teoremi per dimostrare la non esistenza di modelli finiti. Vedi, ad esempio, gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/22058/1/gupea_2077_22058_1.pdf

— selig

Ecco un approccio divertente di Brock-Nannestad e Schürmann:

Astrazioni monadiche veritiere

L'idea è di provare a tradurre le frasi del primo ordine nella logica monadica del primo ordine , "dimenticando" alcuni degli argomenti. Certamente la traduzione non è completa : ci sono alcune frasi coerenti che diventano incoerenti dopo la traduzione.

$\overline F$ $F$

\bar{F} ⊬ ⊥

$\overline F\not\vdash\bot$

può essere verificato da una procedura decisionale e implica

F ⊬ ⊥

$F\not\vdash\bot$

$F$

$\Sigma^0_1$ $\Pi^0_2$

Al momento la forzatura sembra essere al di fuori della portata dei metodi automatizzati.

— cody
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Questo mi sembra sorprendente. Sto cercando di immaginare di tradurre la teoria degli insiemi NBG in logica monadica, ma non riesco a immaginare che sia così facile. Immagino che funzioni bene per i veri campi chiusi o l'aritmetica del presburger come teorie decidibili del primo ordine con modelli finiti già, ma faccio fatica a immaginare che funzioni per qualcosa di così espressivo come la teoria degli insiemi.

— dezakin,

Tutto è difficile con NGB nel ragionamento automatizzato. Nota che il punto dell'articolo non è usare una sola traduzione, ma prova molte possibili traduzioni alla ricerca di un modello.

— cody