Larghezza minima dell'albero del circuito per MAGGIORANZA

Qual è la larghezza minima dell'albero di un circuito su per il calcolo di MAJ? $\{\wedge,\vee,\neg\}$

Qui MAJ genera 1 se almeno la metà dei suoi input sono . $:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $1$

Mi interessa solo la dimensione del circuito (dovrebbe essere polinomiale) e che un ingresso dovrebbe essere letto solo una volta sebbene il fan-out di una porta di ingresso possa essere arbitrario (questo influisce in modo cruciale sulla larghezza dell'albero del circuito - la ramificazione i programmi ottenuti dal teorema di Barrington dal MAJ , interpretati come circuiti obliqui, non aiutano). E ovviamente la larghezza dell'albero è la cosa più cruciale. Io non interessa la profondità o qualsiasi altro parametro. $\in$ $\mathsf{NC}^1$

Alcuni dei circuiti comuni per MAJ includono:

Circuiti degli alberi di Wallace (ad esempio Theorem 8.9 qui ) che usano il trucco 3 a 2 per posizionare MAJ in ? $\mathsf{NC}^1$
monotoni Valiant per MAJ (es. Teorema 4 qui ) $\mathsf{NC}^1$
$\log^{O(1)}{n}$ rete di ordinamento di profondità come ordinamento di Batcher
Rete di smistamento AKS

Qualcuno di loro ha una larghezza dell'albero limitata o addirittura pollogaritmica?

O in effetti,

Ci sono ragioni per credere che non ci siano circuiti limitati di larghezza dell'albero per MAJ?

Si noti che ogni funzione calcolata da un circuito con larghezza dell'albero limitata può essere calcolata da un anche quando non esiste una clausola read-once tramite JansenSarma . Pertanto, l'implausibilità di una tale famiglia di circuiti indicherebbe che questo limite può essere ulteriormente rafforzato nel caso di circuiti read-once. $\mathsf{NC}^1$

— Samid
fonte

Perché questo non è banale per nessuna lingua ? Per quanto posso vedere, le formule (cioè gli alberi) hanno la larghezza dell'albero o mi sto perdendo qualcosa?

{N C}^{1}

$\mathrm{NC}^1$

1

$1$

— Emil Jeřábek,

Penso che OP identifichi tutte le foglie dell'albero della formula che corrispondono alla stessa variabile, che crea cicli.

— Sasho Nikolov,

Un circuito per la maggior parte può essere implementato nella larghezza degli alberi O (log n). Il circuito simula semplicemente un algoritmo online che legge un bit di input alla volta e aggiunge 1 a un numero con bit O (log n) se e solo se l'ingresso è 1. Notare che la profondità del circuito è O (n). Vedi Fig 1 di ( arxiv.org/pdf/1404.5565v1.pdf ). Un circuito di piccola profondità non ha necessariamente una piccola larghezza dell'albero perché, come ha sottolineato Sasho Nikolov, è necessario identificare i nodi corrispondenti alla stessa variabile di input.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

@MateusdeOliveiraOliveira La costruzione che fai notare è bella e semplice ed è quasi ciò di cui ho bisogno. Ciò di cui ho veramente bisogno è una costruzione che funzioni con larghezza dell'albero limitata (o qualche indicazione del perché ciò non sia possibile). Aspetterò un paio di giorni per vedere se ci sono altre risposte - altrimenti (se converti il tuo commento in una risposta) lo approverò.

— SamiD,

@SamiD Ho ampliato questo commento in una risposta. Non avevo postato prima come risposta perché è solo la metà di quello che mi hai chiesto.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Risposte:

Rispondere a metà della domanda di Samir.

Let sia un DAG e essere due sottoinsiemi di vertici di . Indichiamo con l'insieme di tutti i bordi in con un punto finale in e l'altro punto finale in . Se $G=(V,E)$ $V_1,V_2\subseteq V$ $G$ $E(V_1,V_2)$ $G$ $V_1$ $V_2$ $\omega = (v_1,...,v_n)$ $G$

o w (G, ω) = max_{i} | E ({v_{1}, . . ., v_{i}}, {v_{i + 1}, . . ., v_{n}} |

$\mathbf{ow}(G,\omega) = \max_{i}\; |E(\{v_1,...,v_i\},\{v_{i+1},...,v_n\}|$

ω

$\omega$

G

$G$

o w (G) = min_{ω} o w (G, ω),

$\mathbf{ow}(G) = \min_{\omega}\; \mathbf{ow}(G,\omega),$

G

$G$

G

$G$

c w (G)

$\mathbf{cw}(G)$

G

$G$ , indipendentemente dal fatto che l'ordinamento sia topologico o meno. Abbiamo la seguente sequenza di disuguaglianze: dove e sono rispettivamente il pathwidth e la treewidth di .

t w (G) \leq p w (G) \leq c w (G) \leq o w (G),

$\mathbf{tw}(G) \leq \mathbf{pw}(G) \leq \mathbf{cw}(G)\leq \mathbf{ow}(G),$

p w (G)

$\mathbf{pw}(G)$

t w (G)

$\mathbf{tw}(G)$

G

$G$

Sosteniamo che la MAGGIORANZA di bit può essere calcolata nella larghezza online , e quindi nella larghezza dell'albero . Il circuito simula un algoritmo online che legge un bit di input alla volta e aggiunge a un contatore con bit se e solo se . All'inizio, il contatore viene inizializzato su $n$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ $b$ $b$ $O(\log n)$ $b=1$ $0$ . Alla fine il circuito accetta se e solo se il valore del contatore è maggiore di n / 2. È facile vedere che le porte di un circuito ADD che aggiunge uno al registro dei contatori possono essere ordinate topologicamente in modo tale da avere una larghezza online costante, poiché questi circuiti devono solo implementare un'operazione di carry-on. Il circuito totale è una sequenza di circuiti cui l'uscita di è collegata all'ingresso di e l'uscita di è collegata alla input di COMP. Ora, se ordiniamo topologicamente il circuito totale in modo tale che tutte le porte di compaiano davanti alle porte di e tutte le porte di $C=(ADD_1,ADD_2,...,ADD_n,COMP)$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ $C$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ appare prima delle porte di COMP, quindi questo ordine topologico ha larghezza online . Questa costruzione è illustrata nella Figura 1 di un mio documento per dimostrare che l'amplificazione della probabilità può essere eseguita in larghezza logaritmica online. $O(\log n)$

Obs: La profondità del circuito C è . $O(n)$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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Come osservazione laterale, fare lo stesso circuito ma come un albero binario (con l'output alla radice) piuttosto che un percorso dà un circuito con larghezza dell'albero O (log n) e profondità O (log n)

— daniello

Sembra che una traduzione diretta in alberi darebbe profondità O ((log n) ^ 2) poiché avremmo bisogno della profondità O (log n) per ogni sommatore. Ma è vero che la larghezza dell'albero sarebbe O (log n).

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Certo che hai ragione, grazie! Sembra che se le aggiunte vengono implementate come DNF, otteniamo larghezza dell'albero e profondità O (log n), ma dimensione .

O (n^{3})

$O(n^3)$

— daniello,

il fatto di rappresentare il sommatore come DNF è che può potenzialmente aumentare la larghezza dell'albero, poiché ora ogni variabile sarà condivisa con (a prima vista polinomialmente) molte clausole. Il tuo suggerimento di ridurre la profondità a O (log n) funzionerebbe se puoi mostrare che l'aggiunta di due numeri con bit O (log n) può essere fatta a profondità costante e larghezza logaritmica dell'albero.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Bene - per qualsiasi funzione booleana su bit e ingresso bit di uscita del DNF ha profondità , formato , e treewidth dal eliminazione porte di ingresso + uscita foglie un insieme indipendente ...

a

$a$

b

$b$

2

$2$

2^{a} + a + b

$2^a + a + b$

\leq a + b

$\leq a+b$

— daniello,

Rispondere all'altra metà della domanda: ecco uno schizzo di prova per un limite inferiore di per la larghezza dell'albero per una costante . Il limite è indipendente dalle dimensioni o da qualsiasi altro aspetto del circuito. Nel resto dell'argomento è il circuito, è la larghezza dell'albero di e è il numero di porte di ingresso. $c \cdot \log n$ $c$ $C$ $t$ $C$ $n$

Il primo passo consiste nell'utilizzare il lemma del separatore bilanciato per i grafici della larghezza degli alberi limitata . Le porte (comprese le porte di ingresso) del circuito possono essere suddivise in tre parti , e , in modo tale che e sia che contengono almenoporte di ingresso, e non ci sono archi (fili) tra e . $L$ $R$ $S$ $|S| \leq t+1$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $R$

Nel resto della dimostrazione l'unica proprietà del circuito che useremo è questo partizionamento - quindi la dimostrazione in realtà dà un limite inferiore sulla dimensione di un separatore bilanciato come sopra. $S$

Avere $(L,S,R)$ a portata di mano si costruisce un circuito da come segue: per ogni paratoia di fare due ulteriori porte e e make e mangimi in . Per tutti i fili che portano in da farli andare in , invece. Per tutti i fili che portano in da farli andare in , invece. Sia $C'$ $C$ $g$ $S$ $g_L$ $g_R$ $g_L$ $g_R$ $g$ $g$ $L$ $g_L$ $g$ $R$ $g_R$

S^{'} = {g, g_{L}, g_{R} : g \in S} .

$S' = \{g, g_L, g_R : g \in S\}.$

Per ciascuno dei le assunzioni a formano un circuito che emette 1 se (a) l'assegnazione alle porte di ingresso rende vera l'uscita e (b) l'assegnazione alle porte di ingresso imposta tutte le porte di come indovinato. Chiamare questi circuiti , , per . Si noti che il circuito si divide naturalmente in due sottocircuiti e $2^{|S'|}$ $S'$ $C'$ $S'$ $C_1$ $C_2$ $C_3 \ldots C_x$ $x \leq 8^t$ $C_i$ $C_i^L$ tale che dipende solo dalle porte di ingresso di , dipende solo dalle porte di ingresso di , e per qualsiasi assegnazione alle porte di ingresso abbiamo che . $C_i^R$ $C_i^L$ $L \cup S'$ $C_i^R$ $R \cup S'$ $C_i = C_i^L \wedge C_i^R$

Poiché ogni assegnazione alle porte di ingresso è coerente con alcune ipotesi su ciò che accade in abbiamo che . Così abbiamo riscritto il circuito come OR (di FANIN ) di E di (di FANIN ) se il numero di porta AND viene alimentata l'uscita di e rispettivamente. $S'$ $C' = C_1 \vee C_2 \vee C_3 \ldots \vee C_x$ $C$ $8^t$ $2$ $i$ $C_i^L$ $C_i^R$

Lascia che sia l'insieme delle porte AND più in alto. Dimostreremo innanzitutto che . Questo dà un semplice limite inferiore . Dimostreremo quindi un limite migliore. $Z$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$ $t$

Supponiamo che , Ed assumere WLOG che contiene meno porte di ingresso di . Quindi sia che contengono almeno porte di ingresso. Dal principio dei cassetti ci sono due numeri diversi e tale che ci sono due diverse assegnazioni alle porte di ingresso di , uno che imposta cancelli vero, uno che insiemi $2^{|Z|} < n/3-|S|$ $L$ $R$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $i$ $j$ $L$ $i$ $j$ , in modo tale che i circuiti , emettano tutti la stessa cosa. Ma esiste un'assegnazione alle porte di ingresso in tale che MAGGIORANZA uscite FALSE se cancelli a sono impostati su true e MAGGIORANZA uscite TRUE se cancelli a sono impostate su true. Questa è una contraddizione, e quindi sottintendendo che la larghezza dell'albero sia almeno il . $C_1^L$ $C_2^L \ldots C_x^L$ $R$ $i$ $L$ $j$ $L$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$

$|Z| \geq n/3-|S|$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $r$ $R$ $L$

$L$ $r$ $R$ $1$ $i$ $C_i^L$ $C_1^L$ $R$ $r$ $C_1^R$ $1$ $L$ $r-1$ $R$ $1$ $1$ $L$ $C_i^L$ $i \neq 1$ $i=2$ $R$ $r-2$ $C_2^R$ $r$ $|Z| \geq r \geq n/3-|S|$ $c \cdot \log n$ $t$

[Sono consapevole che questo schizzo diventa un po 'ondulato in alcuni punti, chiedi se qualcosa non è chiaro ...]

— Daniello
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