Se P = BQP, questo implica che PSPACE (= IP) = AM?

Di recente, Watrous et al hanno dimostrato che QIP (3) = PSPACE è un risultato notevole. Questo è stato per me un risultato sorprendente a dir poco e mi ha fatto iniziare a pensare ...

Mi chiedevo cosa succederebbe se i computer quantistici potessero essere simulati in modo efficiente dai computer classici. Potrebbe essere SEMPLICEMENTE correlato alla divisione tra IP e AM? Quello che voglio dire è che l'IP è caratterizzato dal numero polinomiale di round di interazione classica, mentre AM ha 2 round di interazione classica. La simulazione di un calcolo quantistico potrebbe ridurre la quantità di interazione per IP dal polinomio a un valore costante?

Ottima domanda! Risposta breve: nessuna implicazione come è nota; ma ciò non significa che non valga la pena provare a provare ...

Direi, tuttavia, che trovare una tale implicazione sembra improbabile. Penso che il messaggio di molta teoria della complessità quantistica sia che, sebbene i computer quantistici non siano una panacea per tutti gli usi per risolvere problemi difficili, in determinate circostanze specifiche possono essere molto più potenti dei computer classici.

Ad esempio, nella complessità della query, gli algoritmi quantistici possono risolvere in modo efficiente determinati problemi che quelli classici non possono dimostrare, quando l'input è promesso di obbedire a una bella struttura globale. Ad esempio, l'algoritmo di Shor si basa su un algoritmo per trovare rapidamente il periodo sconosciuto di una funzione promessa di essere periodica. D'altra parte, gli algoritmi di query quantistiche non sono molto più potenti di quelli classici per risolvere problemi in cui non vi è alcuna struttura speciale assunta sull'input. (Vedere Buhrman e de Wolf indagine sulla complessità delle query per questo ultimo punto.)

$\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

Sono d'accordo con ciò che Andy ha scritto e volevo che questa "risposta" fosse un commento alla sua risposta, ma evidentemente è troppo lungo per un commento ...

Ad ogni modo, può essere utile dire qualcosa in più su quale aspetto del calcolo quantistico (o forse informazioni quantistiche) consente di provare il contenimento di PSPACE in QIP (3). Prove note di questo contenimento non derivano dalla capacità del verificatore di calcolare funzioni che possono essere calcolabili nel tempo polinomiale quantistico. Una spiegazione più accurata è che le prove fanno uso dei modi specifici in cui un prover può manipolare gli stati quantici intrecciati che condivide con il verificatore. Se il prover non fosse in grado di manipolare le informazioni quantistiche o se potesse in qualche modo manipolare magicamente gli stati condivisi in un modo più forte di quanto la teoria dell'informazione quantistica permetta, le prove non funzionerebbero.

Quindi, a mio avviso, il contenimento di PSPACE in QIP (3) non dice nulla sulla relazione tra AM e PSPACE.

Le risposte di John Watrous e Andy Drucker sono eccellenti per comprendere alcuni dei problemi coinvolti.

$P = BQP$$PH$$PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow e J. Rogers. Limitazioni della complessità sul calcolo quantistico . Journal of Computer and System Sciences, 59 (2): 240-252, 1999. Numero speciale per articoli selezionati della 13a Conferenza IEEE sulla complessità computazionale. Disponibile anche qui .

Le altre risposte sono eccellenti, e questo non ha lo scopo di sostituire o contraddire nessuna di esse, ma semplicemente di offrire qualche intuizione sul perché P = BQP non implica necessariamente l'uguaglianza tra sistemi quantici e classici di prova interattiva (per round fissi ecc.). Ora sappiamo tuttavia che QIP = IP grazie al lavoro di Jain, Ji, Upadhyay e Watrous, quindi certamente non sto cercando di affermare che tali uguaglianze non avvengano mai.

Se assumiamo solo che P = BQP impariamo qualcosa solo sui problemi di decisione ai quali i modelli quantistici e classici possono rispondere. Non è lo stesso che implicare che i modelli siano effettivamente gli stessi. La differenza principale è che i computer quantistici possono elaborare gli stati in sovrapposizione, il che significa che i loro input e output non devono essere limitati agli stati classici. Questa è una differenza molto importante tra i modelli quantistici e classici, poiché l'input / output quantistico consente di interrogare gli oracoli con sovrapposizioni di stati classici o di comunicare stati quantistici (che possono potenzialmente avere descrizioni classiche esponenziali) tra un verificatore e un prover. In effetti, esistono oracoli che separano BQP da P, e la comunicazione quantistica porta a una ridotta complessità della comunicazione per una serie di problemi. Così,

Per questo motivo, la questione se P = BQP non sia il fattore decisivo per stabilire se i modelli quantistici e classici sono uguali in situazioni che fanno uso di query comunicative / oracolari.