Quanti colori distinti sono necessari per limitare la scelta di un grafico?

Un grafico è $k$ -choosable (noto anche come $k$ -list-colorable ) se, per ogni funzione $f$ che mappa i vertici su insiemi di $k$ colori, esiste un'assegnazione cromatica $c$ tale che, per tutti i vertici $v$ , $c(v)\in f(v)$ e tale che, per tutti i bordi $vw$ , $c(v)\ne c(w)$ .

Supponiamo ora che un grafico non sia k- selezionabile. Cioè esiste una funzione f dai vertici alle k -tuple di colori che non ha un'assegnazione di colore valida c . Quello che voglio sapere è: quanti colori sono necessari in totale? Quanto piccolo può essere ∪ v ∈ G f ( v ) ? Esiste un numero N ( k ) (indipendente da G ) tale che possiamo essere certi di trovare una f non colorabile che utilizza solo N ( k ) colori distinti?$G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

La rilevanza per CS è che, se esiste , possiamo testare k -choosability per k costante in tempo singolarmente esponenziale (basta provare tutto ( N ( k $N(k)$$k$$k$scelte dif, e per ognuna controllare che possa essere colorato nel tempoknnO(1)) mentre altrimentipotrebbe essere necessarioqualcosa di più rapido in crescita comenkn.$\binom{N(k)}{k}^n$$f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Daniel Král e Jiří Sgall hanno risposto negativamente alla tua domanda. Dall'estratto del loro documento:

Si dice che un grafico sia ( k , ℓ ) selezionabile se i suoi vertici possono essere colorati da qualsiasi elenco L ( v ) con | L ( v ) | ≥ k , per tutti v ∈ V ( G ) e con | ⋃ v ∈ V ( G ) L ( v ) | ≤ ℓ . Per ogni 3 ≤ k ≤ $G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$, costruiamo un grafico che è ( k , ℓ ) selezionabile ma non ( k , ℓ + 1 ) selezionabile.$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

Quindi, non esiste se k ≥ 3 . Král e Sgall mostrano anche che N ( 2 ) = 4 . Certo, N ( 1 ) = 1 .$N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

Daniel Král, Jiří Sgall: grafici da colorare da elenchi con dimensioni limitate della loro unione . Journal of Graph Theory 49 (3): 177-186 (2005)

Come un po 'di spudorata auto-promozione, Marthe Bonamy e io abbiamo trovato risposte più negative. In particolare, il Teorema 4 di http://arxiv.org/abs/1507.03495 migliora in alcuni casi il summenzionato risultato di Král 'e Sgall. Gli esempi che utilizziamo sono grafici bipartiti completi, in cui abbiamo usato alcuni combinatori estremi per analizzarli.

Il lavoro è stato in parte motivato da questa domanda di overflow del TCS.