Rilassante vincoli in un'ottimizzazione

Ho una domanda di fattibilità che può essere formulata come segue. Mi sono dato un punto in uno spazio vettoriale dimensionale, e voglio trovare il punto più vicino per che soddisfa una serie di " vincoli" della forma $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

Dato un set $S \in [1\ldots d]$ , al massimo uno di $\{q_j, j \in S\}$ può essere diverso da zero.

La nozione di vicinanza varia, ma per ora è sufficiente assumere una distanza conveniente come $\ell_2^2$ .

Esistono rilassamenti noti ai vincoli lineari che sono "buoni" nel senso di fornire un politopo "abbastanza vicino" per approssimare i vincoli originali, dove sono anche abbastanza flessibile sulla definizione di "abbastanza vicino"

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
fonte

I vincoli possono dipendere in modo non lineare da ?

p

$p$

— Warren Schudy,

Puoi approfondire quale tipo di polytope stai cercando? Lo scafo convesso di punti fattibili punti con al massimo una coordinata diversa da zero è , quindi non c'è speranza di una buona approssimazione poliedrica dell'insieme di punti fattibili .

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— Warren Schudy,

Se è una costante nota in anticipo, per qualsiasi costante di distanza è possibile calcolare facilmente i punti fattibili che si trovano all'interno di di (osservando solo un singolo vincolo). Per alcune metriche i punti fattibili saranno un'unione di polipetti; per altri potrebbe essere necessario approssimarli con tali o utilizzare un oracolo di separazione. Quindi scrivere vincoli lineari codificando che trova all'interno dello scafo convesso di questi.

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— Warren Schudy,

@warren: i vincoli dipendono linearmente da p, ma p di per sé non è una costante (piuttosto, è l'input al problema). I vincoli sono del tipo sopra o sono vincoli lineari su q_i.

— Suresh Venkat,

Non sono sicuro di aver compreso correttamente il problema, ma come è scritto, il problema sembra ammettere diverse semplificazioni, e in particolare il problema nel caso ℓ ₂² è equivalente alla copertura del vertice di peso minimo se non sbaglio.

Senza perdita di generalità possiamo supporre che S | = 2 in ogni vincolo, perché un vincolo con | S |> 2 è equivalente alla serie di vincoli, dove S corre su tutte coppia di elementi nel set originale S . Pertanto, i vincoli ℓ ₀ possono essere visualizzati come un grafico G con vertici d . Usando il grafico G , i vincoli possono essere ricostruiti come segue: l'insieme dei vertici corrispondenti alle coordinate i con q _i = 0 deve essere una copertura dei vertici di G .
Supponiamo che la distanza sia definita da ²₂² o da qualche norma. In questo caso, qualsiasi punto q può essere trasformato in un punto q ′ che soddisfa per ogni i , q ′ _i ∈ {0, p _i }, semplicemente impostando e questa trasformazione non aumenta mai la distanza dal punto p . In particolare, se la distanza è la somma della distanza coordinata (come nel caso della distanza ℓ ₂² ), il problema è esattamente lo stesso della copertura del vertice di peso minimo. $q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$

Per quanto riguarda un rilassamento dell'LP del problema della copertura dei vertici, una rapida ricerca porta ad esempio alle note della lezione (Lecture 9) di Uriel Feige .

— Tsuyoshi Ito
fonte

Molto interessante. Mi piace l'osservazione su | S | non c'è bisogno di essere più di 2

— Suresh Venkat,

C'è una cosa che non funziona del tutto. Le variabili in generale possono essere arbitrarie (non tra zero e una). Quindi non puoi davvero codificare i vincoli LP per le "variabili impostate su zero devono formare una copertura del vertice". Questo diventa un problema (che avrei dovuto menzionare) perché ci sono anche altri vincoli (lineari) sulle coordinate che devono essere incorporati.

— Suresh Venkat,

@Suresh: se pensi davvero di averlo menzionato, puoi sempre modificare la domanda.

— Tsuyoshi Ito,

@Suresh: intendevo dire "Se davvero pensi che avresti dovuto menzionarlo ..."

— Tsuyoshi Ito,