Problemi completi di EXPSPACE

Attualmente sto cercando di trovare problemi completi di EXPSPACE (principalmente per trovare l'ispirazione per una riduzione), e sono sorpreso dal piccolo numero di risultati che arrivano.

Finora li ho trovati e ho difficoltà a espandere l'elenco:

• universalità (o altre proprietà) delle espressioni regolari con esponenziazione.
• problemi relativi ai sistemi di addizione vettoriale
• giochi non osservabili (vedi ad esempio questo blog )
• alcuni frammenti di FO-LTL, in Sulla complessità computazionale di frammenti decidibili di logiche temporali lineari del primo ordine

Conosci altri contesti in cui la completezza di EXPSPACE appare naturalmente?

Estendendo l'esempio sottolineato da Emil Jerabek nei commenti, problemi completi sorgono naturalmente in tutta la geometria algebrica. Questo è iniziato (penso) con il problema dell'adesione ideale ( Mayr – Meyer e Mayr ) e quindi il calcolo delle basi di Gröbner. Questo è stato poi esteso al calcolo delle syzygies ( Bayer e Stillman ). Molti problemi naturali nella geometria algebrica computazionale finiscono per essere equivalenti a uno di questi problemi. Vedi anche il sondaggio Bayer – Mumford "Cosa si può calcolare nella geometria algebrica?"$\mathsf{EXPSPACE}$

Molti problemi che sono completi di PSPACE diventano completi di EXPSPACE quando l'input viene dato "in modo succinto", cioè tramite una codifica che consente di descrivere input che normalmente sarebbero di dimensione esponenziale.

Ecco un esempio di automi finiti (equivalentemente, su grafici diretti con bordi etichettati): decidere se due automi accettano la stessa lingua (hanno lo stesso set di percorsi etichettati da un'origine a un nodo di destinazione) è PSPACE-complete. Se gli automi (grafici) sono forniti da formule booleane (i nodi sono valutazioni v, v ', .. e ci sono formule booleane che indicano se va-> v' è un bordo), il problema diventa EXPSPACE-complete. NB: ci sono molti altri modi per definire in modo succinto un grande grafico / automa, vedi ad esempio questo documento .

L'esempio con espressioni regolari si adatta a questo modello. L'introduzione di una notazione ".. ^ 2" per la quadratura consente di scrivere espressioni compatte e regolari che sarebbero molto grandi se si espandesse ciascuna "(foo) ^ 2" di "foo foo" e "((bar) ^ 2) ^ 2 "di" bar bar bar bar ". Naturalmente, alcuni problemi che sono completi di PSPACE senza quadratura diventano EXPSPACE completi di quadratura consentita, ecco il classico riferimento . [NB: Altri esempi, come le espressioni regolari con intersezione o con complementi, non si adattano ovviamente al modello di nuova notazione che si espande in input esponenzialmente più grandi nella notazione standard.]

Allo stesso modo, un problema completo di LOGSPACE (ad esempio, la raggiungibilità nei grafici diretti) può diventare completo EXPSPACE se la codifica succinta consente la descrizione di grafici di dimensioni doppiamente esponenziali.

In conclusione : puoi facilmente trovare nuovi problemi, anche se forse artificiali, completi di EXPSPACE, considerando i classici problemi PSPACE o LOGSPACE (di cui ne troverai molti) e consentendo la codifica compatta / succinta / .. dell'input.

La pianificazione temporale con azioni simultanee è completa di EXPSPACE, come mostrato in

J. Rintanen, "Complessità della pianificazione temporale concorrente", Atti della 17a Conferenza internazionale sulla pianificazione e la programmazione automatizzate, pp. 280-287, 2007

$A$$O$$o=(d,P_s,P_e,P_o,E_s,E_e)$

• $d\in\mathbb{N}$
• $P_s$$P_e$$P_o$$A$
• $E_s$$E_e$$A$

$I$$G$$I$$G$

$d$

La maggior parte delle classi standard da PSPACE in poi (beh, anche per NP, se lo desideri) hanno alcuni problemi di piastrellatura come un problema completo. Tali problemi di piastrellatura non sono così lontani dai problemi completi della macchina naturale di Turing, ma spesso sono abbastanza convenienti come punto di partenza per le riduzioni. In poche parole, un problema di piastrellatura ti dà una serie di tessere consentite (vale a dire: tipi di tessere da cui puoi usare tutte le tessere che vuoi) e regola il modo in cui possono essere combinate, spesso da un set H di coppie consentite orizzontalmente di tessere e una serie V di tipi consentiti verticalmente. Inoltre, è possibile assegnare una prima tessera e un'ultima tessera e, a seconda della versione effettiva, e quante righe e / o colonne dovrebbero avere la piastrellatura. La questione algoritmica è se esiste una piastrellatura corretta, ovvero un'assegnazione di posizioni alle tessere, che obbedisce a tutti i vincoli e ha la tessera iniziale nella posizione in basso a sinistra e l'ultima tessera nella posizione in alto a destra. (Esistono molte varianti delle definizioni esatte).

Per la classe in corso, EXPSPACE, puoi scegliere tra (almeno) due versioni:

• piastrellatura del corridoio con larghezza esponenziale, in cui viene fornito un parametro n e la domanda è se esiste una piastrellatura con 2 ^ n colonne e un numero qualsiasi di righe
• gioco di piastrellatura exp-times-exp, dove, dato n, la piastrellatura deve essere di dimensioni 2 ^ n volte 2 ^ n, in cui il primo obiettivo del giocatore è raggiungere una piastrellatura corretta e il secondo giocatore cerca di impedirlo.

Gli articoli da tenere d'occhio sono: Bogdan S. Chlebus: "Giochi di domino-piastrellatura". J. Comput. Syst. Sci. 32 (3): 374-392 (1986) - Peter van Emde Boas: "La convenienza dei tetti", in: Complessità, Logica e teoria della ricorsione, Appunti di lezione in matematica pura e applicata, Vol. 187, 1997, pagg. 331-363.

un esempio e una dimostrazione sono forniti in Introduzione alla teoria degli automi, nelle lingue e nel calcolo Hopcroft / Ullman Thm13.16 che qualsiasi algoritmo non deterministico per la teoria dei reali del primo ordine con aggiunta è NExpTime-hard. quindi è presumibilmente anche NExpSpace-hard a meno che qualche svolta teorica non provi che può essere risolta "in uno spazio più stretto" ma ovviamente questa domanda è simile (quasi identica?) a L =? P. (in altre parole, tutti i noti problemi di NExpTime sono anche candidati di base per NExpSpace-hard e, se del caso, potrebbero significare una risoluzione rivoluzionaria di una separazione di classe di complessità da lungo tempo aperta). La prova viene da Fischer, Rabin 1974, "Complessità super esponenziale dell'aritmetica di Presburger", Complessità di calcolo(R. Karp ed.). Atti del simposio SIAM-AMS in matematica applicata.