Qual è la variante di questo problema di set cover noto come?

Input è un universo $U$ e una famiglia di sottoinsiemi di $U$ , ad esempio, ${\cal F} \subseteq 2^U$ . Assumiamo che i sottoinsiemi ${\cal F}$ possono coprire $U$ , cioè, $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$ .

Una sequenza di copertura incrementale è una sequenza di sottoinsiemi in ${\cal F}$ , diciamo ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$ , quello soddisfa

1) $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$ ,

$\forall i>1$$\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

Il problema è trovare una sequenza di copertura incrementale della lunghezza massima (ovvero, con il massimo ). Si noti che una sequenza di lunghezza massima deve infine coprire , cioè, .$|{\cal A}|$$U$$\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

Ho tentato di trovare un algoritmo o un algoritmo approssimativo per trovare la sequenza di copertura incrementale più lunga. Mi stavo solo chiedendo come fosse conosciuta questa variante del problema di set cover. Grazie!

Qui mostro che il problema è NP-completo.

Convertiamo un CNF in un'istanza del tuo problema come segue. Supponiamo che le variabili del CNF siano e che le clausole siano , dove . Lascia cui tutti i set nell'unione sono completamente disgiunti. In effetti, e , mentre è un insieme di cardinalità . anche e fissa per ogni una famiglia crescente di lunghezza al suo interno, indicata da per$n$ $x_i$$m$ $C_j$$n<m$$U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$$A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$$B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$$Z_i$$k=2n+1$$Z=\cup_i Z_i$$Z_i$$k$$Z_{i,l}$$l=1..k$ . Per ogni variabile , aggiungiamo set a , ogni set del modulo e . Per ogni clausola , aggiungiamo un set a , che contiene , e per ogni elemento e per ogni elemento .$x_i$$2k$$\mathcal F$$A_i \cup Z_{i,l}$$B_i \cup Z_{i,l}$$C_j$$\mathcal F$$Z$$x_i\in C_j$$\{a_{i,j}\}$$\bar x_i\in C_j$$\{b_{i,j}\}$

Supponiamo che la formula sia soddisfacente e fissi un compito soddisfacente. Quindi scegli i set di del modulo o , a seconda che sia vero o meno. Questi sono set incrementali. Ora aggiungi i set corrispondenti alle clausole. Anche questi continuano ad aumentare le dimensioni, in quanto le clausole sono soddisfacenti. Infine, si può anche aggiungere più insiemi (uno per ogni variabile) per fare la copertina sequenza .$k$$A_i \cup Z_{i,l}$$B_i \cup Z_{i,l}$$x_i$$nk$$m$$k$$U$

Supponiamo ora che set siano inseriti in una sequenza incrementale. Si noti che è possibile selezionare al massimo set corrispondenti a per ogni . Pertanto, se non ci sono insiemi di clausole nella sequenza incrementale, è possibile selezionare al massimo , che è troppo pochi. Si noti che non appena viene selezionato un set di clausole, possiamo scegliere al massimo due set corrispondenti a ciascun , per un totale di massimo set. Pertanto, dobbiamo selezionare almeno set di variabili prima di scegliere qualsiasi set di clausole. Ma poiché possiamo scegliere al massimo per ogni , ciò significa che per ciascuno di essi abbiamo scelto almeno$n(k+1)+m$$k+1$$x_i$$x_i$$n(k+1)$$x_i$$2n$$n(k-1)$$k+1$$x_i$$1$ , come . Questo determina il "valore" della variabile, quindi possiamo scegliere solo clausole "vere".$k=2n+1$

Aggiornamento: modificato il valore di da a come sottolineato da Marzio.$k$$n$$2n+1$

Questo è un problema di impacchettamento sotto il vincolo che per la soluzione , per qualsiasi sottoinsieme , abbiamo che c'è sempre un elemento in , che viene coperto esattamente una volta.$\mathcal{A}$$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$$\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

Prova: data una soluzione al tuo problema, ha immediatamente questa proprietà. In effetti, se è la soluzione ottimale al tuo problema, allora considera un sottoinsieme di questi insiemi, e supponi che sia l'ultimo insieme in questa sequenza che appare in . Dalla proprietà richiesta che la soluzione è incrementale, ne consegue che copre un elemento che nessun set precedente copre, il che implica la proprietà di cui sopra.$E_1, \ldots, E_m$$\mathcal{B}$$E_i$$\mathcal{B}$$E_i$

Per quanto riguarda l'altra direzione, è anche facile. Inizia dalla soluzione , trova l'elemento coperto esattamente una volta, impostalo come l'ultimo set della sequenza, rimuovi questo set e ripeti. QED.$\mathcal{A}$

Questo è un problema abbastanza naturale ....

Promemoria rapido: nel problema dell'imballaggio degli insiemi, data una famiglia di insiemi, trova il sottoinsieme massimo di insiemi, che soddisfa alcuni vincoli aggiuntivi (ad esempio, nessun elemento viene coperto più di 10 volte, ecc.).