Dove viene esplorata la parametricità relazionale nei modelli di iperdoctrina o topos?

Reynolds originariamente propose una semantica relazionale per il calcolo lambda polimorfo del secondo ordine [1]. Tuttavia, in seguito ha dimostrato [2] che questo approccio era incompatibile con la teoria dell'insieme classico. Pitts descrisse la struttura dei modelli di iperdoctrina e dei modelli di topos [3] che sono coerenti con la logica costruttiva.

Sono stati quindi sviluppati modelli di iperdoctrina e topos presumibilmente relazionali. Dove posso leggere su di loro?

• [1] Tipi, astrazione e polimorfismo parametrico
• [2] Il polimorfismo non è teorico impostato
• [3] Il polimorfismo è impostato in modo teorico, costruttivo

• Per motivi tecnici, non c'è stato molto lavoro sui modelli di topos parametrici. La logica interna di un topos è una forma di teoria degli insiemi, e l'indicizzazione impredicativa in stile F e l'assioma del powerset sono incompatibili. Vedi i tipi di potere non banali di Andy Pitts non possono essere sottotipi di tipi polimorfici :

  Questo documento stabilisce una nuova relazione limitativa tra il calcolo polimorfo lambda e il tipo di teoria dei tipi di ordine superiore che si incarna nella logica delle topos. È dimostrato che qualsiasi incorporamento in un topos della categoria chiusa cartesiana di tipi (chiusi) di un modello del calcolo lambda polimorfico deve posizionare i tipi polimorfici ben lontano dai powertypes, P (X), dei topos, nel senso che P (X) è un sottotipo di tipo polimorfico solo nel caso in cui X sia vuoto (e quindi P (X) sia terminale). Come corollari, otteniamo rafforzamenti del risultato di Reynolds sulla non esistenza di modelli di polimorfismo a insiemia.

  Di conseguenza, anche se puoi dare a un universo l'interpretazione dei tipi F in logica topos, non puoi lasciarlo interagire in modo interessante con l'intero universo di insiemi. Tuttavia, non tutto è perduto!

  1. $F_\omega$

  2. Un'altra reazione al risultato di Pitts è di non lavorare con una teoria dell'insieme, ma con una teoria del tipo dipendente. Poiché non esiste un tipo di potere precedente nella teoria dei tipi dipendenti, non devi preoccuparti dell'interazione tra tipi di potere e polimorfismo. Vedi Atkey, Ghani e Johann Un modello relazionalmente parametrico della teoria dei tipi dipendenti .

• Tuttavia, non esistono ostacoli di questo tipo alla costruzione di modelli di iperdottrina, in cui i termini del Sistema F sono oggetti della logica. La ricerca in questo senso fu probabilmente avviata da Abadi e Plotkin nel loro seminario A Logic for Parametric Polymorphism . Lars Birkedal e i suoi collaboratori hanno lavorato molto sulla formulazione di modelli categorici per questa e altre logiche simili --- vedi in particolare i modelli teorici di categoria di Linear Abadi e Plotkin di Birkedal, Møgelberg e Petersen , che fornisce una logica per il ragionamento sul Sistema F lineare , oltre a una prova che è solido e completo rispetto a una certa classe di modelli categorici.