Problemi naturali NP completi con testimoni "grandi"

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La domanda su cstheory " Cosa è NP limitato ai testimoni di dimensioni lineari? " Pone domande sulla classe NP limitata ai testimoni di dimensione lineare , ma $O(n)$

Ci sono problemi naturali completi di NP in cui (sì) le istanze di dimensione richiedono testimoni di dimensione maggiore di ? $n$ $n$

Chiaramente possiamo costruire problemi artificiali come:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

Dopo una rapida occhiata a G&J, ogni problema naturale di NPC sembra avere testimoni (rigorosamente) più piccoli di . $n$

C'è una "ragione / spiegazione" per questo?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— Marzio De Biasi
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Molti problemi hanno la dimensione del testimone , come l'isomorfismo del grafico e il percorso hamiltoniano. Volevi escludere i fattori di polilogo o conta come risposta?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— Joshua Grochow,

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In realtà, la dimensione del testimone per Isomorfismo grafico e Percorso Hamiltoniano potrebbe essere vista come sublineare nell'input (dato che l'input è la matrice di adiacenza del grafico).

n \times n

$n \times n$

— Ryan Williams,

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Oh, giusto ... d'oh.

— Joshua Grochow,

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@MarzioDeBiasi Penso che la tua osservazione di piccoli testimoni dovrebbe essere usata per definire il problema naturale NP-completo.

— Mohammad Al-Turkistany,

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@MarzioDeBiasi - Sono d'accordo che sia sufficiente un elenco di incarichi soddisfacenti, ma puoi provare che non esiste un testimone più breve per il problema? (forse un modo sintetico di rappresentare i compiti necessari).

— RB

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Che ne dici del numero di colorazione del bordo in un grafico denso (aka indice cromatico )? Ti viene data la matrice di adiacenza di un grafico vertice ( input bit), ma il testimone naturale che descrive la colorazione ha dimensione . Naturalmente, potrebbero esserci prove più brevi per i grafici di classe 1 nel teorema di Vizing . $n$ $n^2$ $n^2\log n$

Vedi anche questa possibile domanda correlata

— Andreas Björklund
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Sembra un buon esempio! Solo una nota: il problema è NP-completo anche per i grafici cubici; in quel caso abbiamo un testimone di tagliabit è sufficiente (due bit per ogni fronte) che è inferiore a se utilizziamo la rappresentazione della matrice di adiacenza e sospetto che sia inferiore alla dimensione dell'istanza qualunque sia la codifica ragionevole che utilizziamo per il grafico cubico.

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Marzio De Biasi,

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Mi sono imbattuto in alcuni problemi del tutto naturali di NP che apparentemente richiedono lunghi testimoni. I problemi, parametrizzati dagli interi e sono i seguenti: $C$ $D$

Input: una TM a nastro singolo Domanda: Esistono alcuni , tali che compie più di passi su alcuni input di lunghezza ? $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

A volte il complemento del problema è più facile da affermare: un dato TM a nastro singolo viene eseguito in tempo , ad es. fa al massimo passi su tutti gli input di dimensione , per tutti ? $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

Il risultato completo è presentato qui . Fondamentalmente, viene mostrato che se vogliamo verificare se una TM a nastro singolo viene eseguita nel tempo , dobbiamo solo verificarla sugli input di lunghezza delimitati da , dove è il numero degli stati dell'ingresso TM. Quindi il testimone sarebbe l'input della lunghezza per cui viene violato il limite di tempo. Viene anche mostrato nel riferimento che questi problemi sono NP-completi per tutti i e . $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

Ora, se il testimone è un input che viola il tempo di esecuzione, deve essere di lunghezza in generale. E l'ingresso è di lunghezza . $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— David G
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Grazie! Ma, a dire il vero, trovo più "naturale" (so che non è un concetto formale) il problema: "Data una formula , decidi se ha almeno compiti soddisfacenti" :-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio De Biasi,

Capisco :). D'altra parte, il problema su ha la lunghezza del testimone nella domanda, mentre il problema relativo alle TM ottiene la lunghezza del testimone nella prova. Inoltre, la lunghezza del testimone non è intenzionalmente incorporata nel problema.

φ

$\varphi$

— David G,

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Ecco un esempio, che sembra un problema naturale.

Istanza: numeri interi positivi, e , tutti delimitati dall'alto da . $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

Domanda: esiste un grafico a colori con sequenza gradi ? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

Qui l'input può essere descritto con bit , ma il testimone potrebbe richiedere bit . $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

Nota: non ho un riferimento sul fatto che questo particolare problema sia effettivamente NP-completo. Ma il requisito della -colorabilità potrebbe essere sostituito da qualsiasi altra condizione NP-completa; il problema diventerà probabilmente NP-completo per alcune condizioni, se non per questo. $k$

— Andras Farago
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Per me, questo problema ha il tipo sbagliato di struttura per essere NP-completo, a meno che P = NP. Le classi di grafi definite da ciascuna sequenza grado possono essere molto grandi, e molti di loro possono avere elementi -colourable per un motivo banale.

n

$n$

— András Salamon,

@ AndrásSalamon In effetti, non so quale sia la complessità di questo problema, o se possa essere reso NP-completo scegliendo una condizione appropriata invece della -colorability. D'altra parte, sarei sorpreso se per ogni proprietà verificabile del tempo polifunzionale il seguente problema fosse in P : esiste un grafico con una determinata sequenza di gradi, tale che ha anche la proprietà ?

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Andras Farago,

Sono d'accordo che sembra improbabile che la sequenza di laurea + proprietà sia sempre in P, ma forse alcuni di questi sono candidati per lo stato NP-intermedio?

— András Salamon,

@ AndrásSalamon Sì, posso benissimo immaginare che alcuni di loro abbiano lo stato NPI.

— Andras Farago,

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Forse questa è una "ragione / spiegazione" sciocca, ma per molti problemi NP-Complete, una soluzione è un sottoinsieme dell'input (zaino, copertura del vertice, cricca, insieme dominante, insieme indipendente, taglio massimo, somma del sottoinsieme, ... ) o una permutazione o assegnazione a un sottoinsieme dell'input (percorso Hamiltoniano, commesso viaggiatore, SAT, isomorfismo grafico, colorazione grafico, ...).

Potremmo provare a leggere di più in questo, o trovare un motivo più fantasiosamente affermato, ma non sono sicuro che ci sia qualcosa di più profondo o meno.

— usul
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Penso che questa sia davvero una bella "prima idea". A volte i problemi non possono essere classificati in modo inequivocabile. Ad esempio, SAT potrebbe anche essere un problema di sottoinsieme ("scegliere un sottoinsieme di variabili vere"). O HAMCYCLE è un problema di permutazione sui vertici o un problema di sottoinsieme sui bordi? (A proposito, forse i "problemi di assegnazione" potrebbero davvero essere "problemi di partizione", pensate a dire 3-colorazione).

— Juho,

3

Per quanto riguarda la tua prima domanda, Allender afferma (in Amplificare i limiti inferiori in base all'auto-riducibilità ) che nessun problema naturale di NP completo è noto al di fuori di NTIME (n). Ciò significa che tutti i set NP completi naturali noti hanno testimoni di dimensioni lineari.

— Mohammad Al-Turkistany
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1

Si noti che la lunghezza del percorso di accettazione più lungo nella macchina di Turing non deterministica corrisponde alla dimensione del testimone.

— Mohammad Al-Turkistany,

1

Considera la seguente variante del problema MAXCLIQUE .

Istanza: un circuito con bit di ingresso e dimensioni polinomialmente limitate in . Questo circuito determina implicitamente un grafico su vertici, in modo tale che ogni vertice sia identificato con una stringa bit e due vertici siano collegati con un bordo se la stringa bit ottenuta ottenendo concatenando i due ID vertici, è accettato da . Sia denotare questo grafico. Nota che ha esponenzialmente molti vertici in , ma è ancora determinato dalla descrizione polinomio dimensione . $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

Domanda: fa contengono una cricca di dimensione , dove è una costante fissa? $G(C)$ $n^k$ $k$

Gli appunti:

Il problema è NP-completo. Il contenimento in è ovvio. La completezza può essere dimostrata osservando che se il circuito accetta solo coppie di vertici in cui ogni ID è al massimo , allora può essere un grafico -vertex arbitrario più molti vertici isolati. (Qualsiasi grafico -vertex di questo tipo può essere codificato in , poiché a è consentito avere dimensioni polinomiali in , e quindi anche in ) Quindi la domanda diventa: c'è una cricca di dimensioni in un -vertex grafico? Questo è noto essere NP-completo, per generale . Il problema che $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ $N$ $N$ non è arbitrario, è limitato a , può essere eliminato con un'adeguata imbottitura. $N=2n^k$
Il testimone naturale del problema originale è la cricca di dimensioni , che può essere descritta da una stringa lunga (una stringa -bit per ciascuno dei vertici ). Nota che può essere una costante molto grande, quindi il testimone può essere molto più lungo di lineare. (Anche se la dimensione di input è la descrizione di , piuttosto che , questo testimone può essere ancora molto più lungo, perché può essere scelto indipendentemente da ) $n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
Il problema può essere considerato naturale, poiché è una variante di MAXCLIQUE .
Quando Allender scrisse "non è noto che nessun problema naturale di NP completo si trovi al di fuori di " (vedi Amplificare i limiti inferiori per mezzo di auto-riducibilità , Sezione 7), potrebbe aver avuto in mente un concetto più ristretto di naturalezza. Ad esempio, il naturale potrebbe essere limitato a qualcosa che le persone vogliono veramente risolvere sulla base di motivazioni pratiche e indipendenti. Non è sufficiente se il problema non viene costruito tramite la diagonalizzazione. $NTIME(n)$

— Andras Farago
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Non sono sicuro di seguire la tua riduzione di Half-Clique a questo problema, per stabilire completezza in NP. Data un'istanza -vertex di Half-Clique, a quale circuito è mappato?

n

$n$

— András Salamon,

@ AndrásSalamon Sia un grafico a vertice , che funge da grafico di input di Half-Clique. Quindi

è il circuito che accetta qualsiasi coppia di nodi

, se

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

(come numeri binari) e

, altrimenti

rifiuta. (Questa

può essere implementata come un circuito di dimensioni polinomiali.) Quindi

conterrà

sui primi

nodi, più

nodi isolati aggiuntivi. Il grafico

ha una cricca di dimensione

esattamente quando

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ ha una mezza cricca.

— Andras Farago,