Circuiti aritmetici con una sola soglia

Se limitato a $0$ - input, ogni circuito ,, calcola alcune funzioni . Per ottenere una funzione booleana , possiamo semplicemente aggiungere un gate di soglia fanin-1 come gate di uscita. All'ingresso , la soglia risultante - il circuito quindi emette se e emette se ; la soglia può essere qualsiasi numero intero positivo, che può dipendere da $1$ $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$ $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ ma non sui valori di input. Il circuito risultante calcola una funzione booleana (monotona) . $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

Domanda: I circuiti di soglia -circuits possono essere simulati in modo efficiente da -circuits? $\{+,\times\}$ $\{\lor,\land\}$

Sotto "efficientemente" intendo "con al massimo un aumento polinomiale delle dimensioni". La risposta è chiara "sì" per la soglia : basta sostituire con , per e rimuovere l'ultimo gate della soglia. Cioè, -circuits sono in effetti soglia- -circuits. Ma che dire delle soglie più grandi, diciamo, ? $t=1$ $+$ $\lor$ $\times$ $\land$ $\{\lor,\land\}$ $1$ $\{+,\times\}$ $t=2$

Si possono definire analoghi aritmetici della maggior parte delle classi di circuiti booleani semplicemente usando invece di OR, invece di AND e invece di . Ad esempio, i circuiti sono -circuiti di profondità costante con porte fanin e illimitate e input e . Agrawal, Allender e Datta hanno dimostrato che la soglia = . (Ricorda che stesso è un vero e proprio $\#C$ $C$ $+$ $\times$ $1-x_i$ $\bar{x}_i$ $\#AC^0$ $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ $\#AC^0$ $TC^0$ $AC^0$ sottoinsieme di ; prendiamo, diciamo, la funzione di Maggioranza.) In altre parole, i circuiti di soglia a profondità costante possono essere simulati in modo efficiente mediante circuiti a profondità costante , con un solo gate di soglia! Si noti, tuttavia, che la mia domanda riguarda i circuiti monotoni (nessun segno meno " " come porte e persino nessun come ingressi). Può un (ultimo) cancello di soglia essere così potente anche allora? Non conosco queste cose, quindi qualsiasi suggerimento correlato è il benvenuto. $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ $1-x_i$

NB C'è ancora un altro interessante relativo risultato a causa di Arnold Rosenbloom: -circuits con un solo monotona funzione come porta di uscita può calcola ogni funzione slice con gate. Una funzione slice è una funzione booleana monotona che, per alcuni fissi , emette (resp. ) su tutti gli input con meno (resp., Più) di . D'altro canto, il conteggio facile mostra che la maggior parte delle funzioni di divisione richiedono circuiti generici di dimensioni esponenziali. Pertanto, un gate di uscita aggiuntivo "innocente" può $\{+,\times\}$ $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ $O(n)$ $k$ $0$ $1$ $k$ $\{\lor,\land,\neg\}$ rendere onnipotenti i circuiti monotoni! La mia domanda mi chiede se ciò può accadere anche quando è un gate di soglia fanin- . $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ $1$

ATTUALIZZAZIONE (aggiunta il 03.11.2014): Emil Jeřábek ha dimostrato (tramite una costruzione incredibilmente semplice, vedi la sua risposta sotto) che la risposta è "sì" fintanto che per una costante . Quindi, la domanda rimane aperta solo per le soglie super-polinomiali (in ).

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

Di solito, nelle applicazioni funzionano solo soglie elevate: di solito abbiamo bisogno di soglie del modulo per . Dire, se conta il numero di percorsi - nel grafico specificato dall'input - , quindi per con , la threshold- versione di risolve l'esistenza di un Hamiltoniana - problema percorso sul grafici -vertex (vedi, ad esempio qui ). $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ $s$ $t$ $m$

(Aggiunto il 14.11.2014): dal momento che Emil ha risposto a gran parte della mia domanda, e poiché il caso delle soglie esponenziali non è in vista, ora accetto la risposta (molto carina) di Emil.

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
fonte

Aspetta ... dimensione esponenziale? Penso che tu possa implementare una funzione slice in dimensioni polinomiali con gate booleani, è solo una formula (che non può riutilizzare più di una volta i risultati intermedi) che deve avere dimensioni esponenziali.

— Zsbán Ambrus,

@ Zsbán Ambrus: Esistono al massimo

S^{a S}

$S^{aS}$ circuiti di dimensione

S

$S$ , ma almeno

funzioni

-slice

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$ distinte già per

; a, b costanti positive.

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys,

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Si ottiene

circuiti direttamente. Sostituisci ogni nodo

con

nodi

, dove

calcola il predicato booleano

. (Non è necessario

poiché calcola la costante

, ma semplifica l'espressione di seguito.) In questa rappresentazione,

possono essere simulati da circuiti

di dimensione

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

: ad es. Se

, quindi

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

@Emil Jeřábek: Very nice! Ora ho aggiunto un'osservazione su questo. In realtà, potrebbe forse valere la pena di inserire questo commento come risposta: anche il caso della soglia polinomiale non è stato immediatamente chiaro (almeno per me).

— Stasys,

La risposta è "sì" se . Più in generale, un circuito di soglia di dimensione con soglia può essere simulato da un circuito di di dimensione . $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

Innanzitutto, osserva che è sufficiente valutare il circuito in con addizione e moltiplicazione troncata: in particolare, se , quindi e , oppure . $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

Con questo in mente, possiamo simulare il circuito con un circuito monotono booleano sostituendo ogni nodo con nodi , dove è destinato a calcolare il predicato . (Abbiamo bisogno di solo per comodità notazionale, calcola la funzione costante ). Se è una variabile di input booleana , prendiamo , $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ . Se è una porta di addizione, diciamo , la implementiamo tramite Le porte di moltiplicazione sono gestite allo stesso modo. $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

Questo richiede porte per una porta del circuito originale. Come ottimizzazione minore, possiamo ridurla a inserendo $O(t^3)$ $O(t^2)$ in modo che ogniè utilizzato come ingresso di uno solo deicancelli.

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek sostiene Monica
fonte