Punti fissi in computabilità e logica

Questa domanda è stata pubblicata anche su Math.SE,

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

Spero sia giusto pubblicarlo anche qui. In caso contrario, o se è troppo semplice per CS.SE, per favore dimmelo e lo cancellerò.

Vorrei capire meglio la relazione tra teoremi a virgola fissa in logica e $\lambda$ -calculus.

sfondo

1) Il ruolo dei punti fissi nell'incompletezza e indefinibilità della verità

Per quanto ho capito, a parte l'idea fondamentale di interiorizzare la logica, la chiave per entrambe le prove della indefinibilità di Tarski della verità e teorema di incompletezza di Goedel è il seguente teorema di punto fisso logica , che vive in una costruttiva, metateoria finitistica (spero la formulazione va bene, per favore correggimi se qualcosa non è corretto o impreciso):

Esistenza di punti fissi in logica

Supponiamo che sia una teoria sufficientemente espressiva, ricorsivamente enumerabile sul linguaggio , e che sia una codifica delle formule in , cioè un algoritmo che gira -formule arbitrarie ben formate in -formule con una variabile libera , tale che per qualsiasi -formula abbiamo . ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

Quindi esiste un algoritmo ruotando ben formate -formulas in una variabile libera in chiuso ben formati -formulas, tale che per ogni -Formula in una variabile libera abbiamo che, interpretando come un simbolo di funzione definita ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ , potrebbe anche essere scritto in modo più compatto come $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
In altre parole, è un algoritmo per la costruzione di punti fissi rispetto all'equivalenza di formule una variabile . ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

Questo ha almeno due applicazioni:

Applicandolo al predicato esprime " codici una frase che, se istanziata con il suo stesso codice, non è provabile". porta alla formalizzazione di "Questa frase non è provabile" che sta al centro dell'argomento di Goedel. $\phi(v)$ $v$
Applicandolo a per una sentenza arbitraria ottiene l'indefinibilità della verità di Tarski. $\neg\phi$ $\phi$

2) Punti fissi nel calcolo non tipizzato $\lambda$

Nel calcolo non tipizzato la costruzione di punti fissi è importante nella realizzazione di funzioni ricorsive. $\lambda$

Esistenza di punti fissi nel calcolo : $\lambda$

Esiste un combinatore a punto fisso , ovvero un -term tale che per ogni -term , abbiamo $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

Osservazione

Ciò che mi lascia sbalordito è che il combinatore a punto fisso in -calculus riflette direttamente, in modo molto pulito e non tecnico, la solita dimostrazione del teorema del punto fisso logico: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

Molto approssimativamente , data una formula , si considera la formalizzazione dell'istruzione " codifica una frase che, quando istanziata con se stessa, soddisfa ", e mette . La frase è come e corrispondono a $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ . $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

Domanda

Nonostante la sua idea rapidamente descritta, ho trovato la prova del teorema del punto fisso logico abbastanza tecnica e difficile da realizzare in tutti i dettagli; Kunen lo fa ad esempio nel Teorema 14.2 del suo libro "Set Theory". D'altra parte, il combinatore nel calcolo è molto semplice e le sue proprietà sono facilmente verificabili. $Y$ $\lambda$

Il teorema del punto fisso logico segue rigorosamente dai combinatori del punto fisso nel calcolo ? $\lambda$

Ad esempio, si può modellare il calcolo formule fino all'equivalenza logica, in modo che l'interpretazione di qualsiasi combinatore a punto fisso dia un algoritmo come descritto nel teorema logico a punto fisso? $\lambda$ ${\mathcal L}$

modificare

Alla luce dei molti altri casi dello stesso argomento di diagonalizzazione descritto nelle risposte di Martin e Cody, si dovrebbe riformulare la domanda:

Esiste una generalizzazione comune degli argomenti di diagonalizzazione secondo il principio espresso nel combinatore ? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

Se ho capito bene una proposta è il Teorema del punto fisso di Lawvere , vedi sotto. Sfortunatamente, tuttavia, non posso seguire le specializzazioni pertinenti in nessuno degli articoli citati da Martin nella sua risposta, e sarei felice se qualcuno potesse spiegarli. Innanzitutto, per completezza:

Teorema del punto fisso di Lawvere

Sia una categoria con prodotti finiti e tale che per qualsiasi morfismo in ci sono alcuni tale che per tutti i punti uno ha ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
Allora per ogni endomorphism , mettendo ogni scelta del dà luogo ad un punto fisso di , vale a dire $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

Questa è un'affermazione nella teoria (intuizionistica) del primo ordine delle categorie con prodotti finiti e quindi si applica a qualsiasi modello di quest'ultimo.

$A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ). Inoltre, la traduzione della dimostrazione del teorema di Lawvere fornisce i soliti argomenti diagonali.

Problema più concreto:

Qualcuno può spiegare in dettaglio un'applicazione del teorema di Lawvere a funzioni ricorsive parziali o teoremi a punto fisso logico? In particolare, quali categorie dobbiamo considerare lì?

${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

Sfortunatamente, non capisco cosa significhi.

$\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ è anche solo una funzione parziale, quindi può essere indefinito, il teorema del punto fisso è banale.

Qual è la categoria che uno vuole davvero considerare?

Forse l'obiettivo è quello di ottenere il teorema del punto fisso di Roger, ma allora si dovrebbe in qualche modo costruire un codice di funzioni ricorsive parziali da numeri naturali nella definizione della categoria, e non riesco a capire come farlo.

Sarei molto felice se qualcuno potesse spiegare la costruzione di un contesto a cui si applica il teorema del punto fisso di Lawvere, dando origine a un teorema del punto fisso logico o un teorema del punto fisso per funzioni ricorsive parziali.

Grazie!

lo.logic computability lambda-calculus

— Hanno Becker
fonte

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@EmilJeřábek: grazie per il tuo commento! Capisco che non ci sarà modo di aggirare un codice di funzioni ricorsive, ma vorrei separare chiaramente ciò che riguarda il codice e ciò che è formale in seguito.

— Hanno Becker,

λ

$\lambda$

Y

$Y$

Il punto fisso Lawvere teorema può essere relativamente banalmente applicato a funzioni ricorsive parziali considerando c'è un (ricorsivo) censimento

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

Cody, potresti elaborare con precisione quale categoria stai usando, perché è questo il punto in cui non posso seguire le altre fonti.

— Hanno Becker,

Probabilmente non sto rispondendo direttamente alla tua domanda, ma esiste una generalizzazione matematica comune di molti paradossi, inclusi i teoremi di Gödel e il combinatore Y. Penso che questo sia stato esplorato per la prima volta da Lawvere. Vedi anche [2, 3].

FW Lawvere, argomenti diagonali e categorie chiuse cartesiane .
D. Pavlovic, Sulla struttura dei paradossi .
NS Yanofsky, un approccio universale ai paradossi autoreferenziali, incompletezza e punti fissi .

— Martin Berger
fonte

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker Questo può essere abbastanza difficile e sensibile alla codifica.

— Martin Berger,

Non ho una risposta completa alla tua domanda, ma ho questo:

Come dice Wikipedia

Per ogni funzione ricorsiva parziale $Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

Per ogni formula e re teoria contenente l'aritmetica, esiste un indice tale che $\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

Questo non è esattamente quello che vuoi, ma un trucco di interiorizzazione può darti la frase più forte

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

Ancora una volta, questo non è proprio il teorema logico in virgola fissa, ma può servire allo stesso scopo.

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

Con un piccolo pensiero, puoi probabilmente rafforzare questo argomento per darti il teorema completo direttamente senza l'interiorizzazione.

— cody
fonte

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N^{2}, N) \to Map (N, C (N, N)) ≅ Map (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

Con questi presupposti, capisco che l'affermazione è vera; tuttavia, sebbene - come in molti di questi tipi di affermazioni - la somiglianza con la

Y

$Y$

λ

$\lambda$

Per il primo punto: hai ragione, vuoi che

sia "sano" nel senso che descrivi. Per il secondo punto: il

combinatore esprime essenzialmente

φ

$\varphi$

Y

$Y$

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$

p := Y Q

$p:= Y\ Q$

λ

$\lambda$ quoteeval

Y

$Y$