Complessità del puzzle poligonale nascosto su griglie quadrate?

Hiroimono è un popolare di puzzle Completa. Sono interessato alla complessità computazionale di un puzzle correlato. $NP$

Il problema è:

Input : dato un insieme di punti su una griglia quadrata x e intero $n$ $n$ $k$

Domanda : esiste un poligono rettilineo (i suoi lati sono paralleli all'asse o ) in modo tale che il numero di punti sugli angoli del poligono sia almeno ? $x$ $y$ $k$

Ogni angolo del poligono deve trovarsi in uno dei punti di input (quindi le curve sono consentite solo in un punto di input).

Qual è la complessità di questo problema? Qual è la complessità se la soluzione si limitasse ai poligoni rettilinei convessi?

EDIT 13 aprile: Formulazione alternativa: trova un poligono rettilineo con gli angoli massimi nei punti indicati.

— Mohammad Al-Turkistany
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I poligoni rettilinei convessi non dovrebbero essere risolvibili in tempo polinomiale mediante la programmazione dinamica?

— Peter Shor,

Sì, dovrebbe.

— Jeffε,

@JeffE, che ne dici del caso generale non convesso? Qual è la tua inclinazione?

— Mohammad Al-Turkistany,

per molti di questi problemi, la soluzione migliore è iniziare con qualcosa come 3SAT planare o anche NAE-SAT planare. Sarà orribilmente brutto, ma la planarità ti dà le strutture di cui potresti aver bisogno.

— Suresh Venkat,

@Suresh Solo una nota: googling ho scoperto che la versione planare di NAE3SAT è in P ( portal.acm.org/… ).

— Marzio De Biasi,

Risposte:

Ho pensato a questa strana riduzione (le probabilità che sia sbagliato sono alte :-). Idea: riduzione dal percorso hamiltoniano su grafici a griglia con grado ; ogni nodo del grafico planare può essere spostato in modo tale che ogni "riga" ( valore ) e ogni "colonna" ( valore ) contengano al massimo un nodo. Il grafico può essere ridimensionato e ogni nodo può essere sostituito da un gadget quadrato con molti punti; i collegamenti orizzontali tra i gadget (i bordi del grafico originale) sono realizzati usando coppie di punti su file distinte, collegamenti verticali usando coppie di punti su colonne distinte. Gli spostamenti dei nodi vengono forzati utilizzando i "molti punti" dei gadget quadrati. $\leq 3$ $y$ $x$

Il gadget del nodo è rappresentato nella figura seguente:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

$[W,N,E]$ $C \times C$ $C$ $2C$ $2C+2$ $C \times C - 4 + 6$ $[N,E,S]$ $[E,S,W]$ $[S,W,N]$

$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ $x_1 \neq x_2$ $y1 \neq y_2$ $4 \times 3$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

$E$ $W$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

$4 + 2C$ $2e$

$n$ $e$ $C > (4n+2e)$ $k = 2Cn$

— Marzio De Biasi
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$V$

In secondo luogo, c'è un bellissimo aggiornamento a questo lavoro di Maarten Löffler ed Elena Mumford, in un documento, " Grafici rettilinei collegati su set di punti ", Journal of Computational Geometry , 2 (1), 1–15, 2011. Dal loro abstract:

$V$ è l'insieme di vertici di un grafico rettilineo collegato in tale orientamento. ... Dimostriamo che al massimo uno di questi orientamenti può essere possibile, fino a banali rotazioni di 90 gradi attorno ad un asse.

— Joseph O'Rourke
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