Calcolo lambda semplicemente digitato e logica di ordine superiore

Qual è la relazione tra il semplice calcolo lambda tipizzato e la logica di ordine superiore?

Sotto Curry-Howard sembra che il semplice calcolo lambda tipizzato corrisponda alla logica proposizionale. In che modo è correlato alla logica di ordine superiore? Secondo questo tutorial di Geuvers: http://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf il linguaggio di HOL sembra essere STT. Non dovrebbe essere PROP? Cosa significa?

Church aveva in mente HOL quando definito STT?

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
fonte

Sì, Church aveva in mente HOL. Il trucco per ottenere HOL da STT è usare l' uguaglianza , oltre all'applicazione della funzione e all'astrazione della funzione. Quindi puoi scrivere

come

, tra gli altri. Mi piace "Le sette virtù della teoria dei tipi semplici" come introduzione a STT, che affronta questo tipo di domande. Forse dovrei scrivere una risposta ...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Thomas Klimpel,

Quindi, quando si parla di Curry-Howard, quale sarebbe la logica corretta equivalente a STT? HOL o PROP?

— lambda2,

Rispetto a Curry-Howard, non pensa che sarà HOL. Forse è il frammento moltiplicativo del PROP intuizionista, cioè PROP intuizionista senza "o". Ma quello era per CCC (categoria chiusa cartesiana), e al momento sono un po 'stanco. Lambda sarà probabilmente tradotto come "implicazione", che era l '"esponenziale" in CCC. Il "prodotto" di CCC era "e", quindi per questo avresti bisogno di una "coppia" in STT. E "o" sarebbe un tipo "somma" in STT quindi, cioè un'unione disgiunta, forse un se "a" quindi "b" altrimenti "c" lo fa.

— Thomas Klimpel,

Penso di confondere qualcosa (o tutto). Se STT ~ = PROP (tramite Curry-Howard) e STT è anche HOL, allora posso usare PROP in un certo senso per avere HOL?

— lambda2,

@ThomasKlimpel: dovresti trasformare i tuoi commenti in una risposta.

— cody

La distinzione è questa: se STLC è preso come un linguaggio primitivo a livello di tipo aggiungendo costruttori e un piccolo numero di assiomi è sufficiente per darti il pieno potere espressivo di HOL.

$\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

$\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— cody
fonte

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

Cosa sono quegli assiomi intelligenti, per favore? Immagino che questo abbia a che fare con il modo di dimostrare l'uguaglianza ... Inoltre, conosci un nome per distinguere esplicitamente i livelli di estensioni HOL? (con uguaglianza, quindi con tipo polimorfico, quindi con tipi dipendenti).

— Hibou57,

@ Hibou57 gli assiomi sono descritti nell'eccellente articolo The Seven Virtues of Simple Type Theory . Non so che ci sono nomi espliciti per distinguere estensioni diverse di STT, diverse da quelle che hai usato.

— cody