Specifica minima della teoria dei tipi di Martin-Löf

Sto leggendo la presentazione formale della teoria dei tipi di Martin-Löfs (appendice del libro HoTT ). Gli autori introducono una gerarchia di universi, quindi $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ e anche $W$ tipi e numeri naturali $\mathbb N$ (induttivamente via $0$ e $succ$ ). Alla fine aggiungono anche tipi induttivi più elevati .

Ma poi mi chiedo perché sia ​​necessario fare $\mathbb N$ nelle specifiche della teoria. Non ${\bf 1}$ e $+$ e algebriche tipi di dati, nell'incarnazione di avere -Tipi, bastano per configurarlo? Ad esempio con l' approccio iniziale all'algebra . (O almeno dopo che passiamo da MLTT a HoTT abbiamo tipi induttivi - dopo tutto, gli interi emergono come gruppo omotopico di tipo circolare all'interno della teoria.)$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

O ha a che fare con il nostro bisogno di avere una ricorsione primitiva dall'inizio, che è definita proprio accanto a $\mathbb N$ nella presentazione? Questa è un'idea che ho perché non so bene come "definizione sia definita" in quel framework, o come estendere il linguaggio funzioni, formalmente. Potrei aggiungere che riconosco che almeno una nozione informale di numeri e "maggiore" è già utilizzata quando viene definita la gerarchia degli universi.

Nel caso in cui si possa risparmiare $\mathbb N$ e le specifiche non siano minimali, ci sono altri elementi che si potrebbero in linea di principio abbandonare? Ad esempio, potrei immaginare $\bf 2$ e quindi $+$ proveniente da una combinazione di $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$ , ma non sono stato in grado di farlo.

Lo scopo del sistema descritto nell'appendice del libro HoTT è quello di presentare qualcosa che corrisponda a ciò che viene utilizzato dal libro. Il libro vuole essere educativo. Pertanto sarebbe una cattiva idea fare tutto in modo minimalista. Ad esempio, introduciamo separatamente perché è istruttivo vedere come funzionano le costruzioni induttive in un caso familiare.$\mathbb{N}$

Hai perfettamente ragione, per far ripartire i tipi induttivi dai tipi generali devi solo 0 e 2 . Ottieni immediatamente 1 come 0 → 0 e ottieni + da 2 e Σ . Una volta ottenuto, ottieni tutte le somme finite 1 + 1 + ⋯ + 1 . A questo punto è facile eseguire i soliti tipi di dati algebrici.$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Se si rilascia , quindi si parte da Π , Σ , 1 e 2 , quindi non è possibile recuperare 0 poiché ogni tipo creato verrà abitato.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Supponiamo di avere solo , Σ , 0 e 1 . Quindi non puoi fare 2 perché puoi mostrare che ogni costruzione che fai ti restituisce 0 o 1 . In effetti, non è possibile creare famiglie dipendenti interessanti. Una famiglia più ampia di tipi che è chiusa sotto Π , Σ , 0 e 1 , ma che non contiene 2 è il ( - 1 ) tipo (proposizioni).$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$