Vantaggi algoritmici della larghezza del percorso rispetto alla larghezza degli alberi

La larghezza degli alberi gioca un ruolo importante negli algoritmi FPT, in parte perché molti problemi sono parametrizzati FPT dalla larghezza degli alberi. Una nozione correlata, più limitata, è quella della larghezza del percorso. Se un grafico ha la larghezza del percorso , ha anche la larghezza dell'albero al massimo , mentre nella direzione opposta, la larghezza dell'albero implica solo la larghezza al massimo e questo è stretto. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

Considerato quanto sopra, ci si può aspettare che ci possa essere un vantaggio algoritmico significativo nei grafici della larghezza del percorso limitata. Tuttavia, sembra che la maggior parte dei problemi che sono FPT per un parametro sono FPT per l'altro. Sono curioso di conoscere eventuali contro-esempi a questo, cioè problemi che sono "facili" per la larghezza del percorso ma "difficili" per la larghezza degli alberi.

Consentitemi di ricordare che sono stato motivato a porre questa domanda incontrando un recente articolo di Igor Razgon ("Su OBDD per CNF di larghezza dell'albero limitata", KR'14) che ha fornito un esempio di un problema con un soluzione quando è la larghezza del percorso e un limite inferiore (approssimativo) quando è la larghezza dell'albero. Mi chiedo se esistono altri esemplari con questo comportamento. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Riepilogo: ci sono esempi di problemi naturali che sono parametrizzati W-hard dalla larghezza dell'albero ma FPT parametrati dalla larghezza del percorso? Più in generale, ci sono esempi di problemi la cui complessità è nota / ritenuta molto migliore se parametrizzata per larghezza di percorso anziché larghezza di albero?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Michael Lampis
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Ci sono problemi facili sui percorsi ma NP-Hard sugli alberi. Questi includono il multicut minimo e il multiplo intero massimo.

— Chandra Chekuri,

@ChandraChekuri Questo è un buon punto, ma gli algoritmi per i percorsi per tali problemi generalmente si generalizzano alla larghezza del percorso? Ad esempio, per il multiflow di numeri interi max, penso che non sia così. Garg, Vazirani e Yannakakis hanno dimostrato la durezza NP per gli alberi negli "algoritmi di approssimazione primordiali a doppio per flusso integrale e multicut negli alberi". La riduzione utilizza un albero di altezza 3. Ciò significa che il problema è NP-difficile per una larghezza di percorso costante.

— Michael Lampis,

Questa non è ancora una risposta chiara alla domanda originale. È noto che il gap di flusso nei grafici di pathwidth k è limitato da f (k) per alcune funzioni f tramite un risultato di Lee e Sidiropoulos. È un importante problema aperto se un tale risultato valga per la larghezza degli alberi. Il caso k = 3 è aperto per la larghezza degli alberi.

— Chandra Chekuri,

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

$W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

$G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Rupei Xu
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