Proprietà esprimibili in 2-CNF o 2-SAT

Come si può dimostrare che una determinata proprietà non può essere espressa in 2-CNF (2-SAT)? Ci sono giochi, come i giochi di ghiaia? Sembra che il classico gioco di ciottoli neri e il gioco di ciottoli bianco-nero non siano adatti a questo (sono completi per PSPACE, secondo Hertel e Pitassi, SIAM J of Computing, 2010).

O qualche tecnica diversa dai giochi?

Modifica : stavo pensando a proprietà che implicano il conteggio (o cardinalità) di un predicato sconosciuto ( predicato SO , come direbbero i teorici del modello finito). Ad esempio, come in Clique o Matching non ponderato. (a) Cricca : esiste una cricca nel dato grafico tale che qualche dato numero ? (b) Corrispondenza : esiste una corrispondente in tale che ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

Può contare 2-SAT? Ha un meccanismo di conteggio? Sembra dubbioso.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Sameer Gupta
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Capisco che ci sono giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé (per FO) e di Ajtai-Fagin (per SO monadico) nella teoria dei modelli finiti. Ma non sono sicuro che siano sufficienti qui. Anche i giochi in FMT si complicano con le strutture ordinate, giusto?

— Sameer Gupta,

@Marzio sembra una prova del fatto che non tutte le funzioni booleane sono espresse in 2CNF poiché affermi che risponderebbe alla domanda (in realtà non ne sono sicuro, non lo vedi ovvio). qual è quella prova? è pubblicato da qualche parte?

— vzn,

@vzn: una banale funzione booleana che non è espressibile in 2-CNF è:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: dopo la riformulazione, perhpas la domanda diventa difficile :-); anzi

, dove

è limitato a clausole con due variabili (SO-Krom) cattura Nl su strutture ordinate, mentre cattura esistenziale SO NP. Ovviamente limitato a FO 2-SAT non può contare (e il gioco Ehrenfeucht – Fraïssé o le tecniche di compattezza sono abbastanza lontani, perché puoi usarli per dimostrare che PARITY non è definibile da FO).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi,

ok. sembra esserci una teoria generale secondo cui

-SAT non può esprimere tutte le funzioni booleane per

costante . qual è quella teoria? questa domanda pone riguardo al caso speciale

. si noti che esiste un concetto di "riduzione" di

-SAT a 3-SAT tramite la trasformazione di Tseitin . inoltre ho visto un concetto simile comparire nelle prove dei limiti inferiori del circuito monotono (Razborov).

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn,

Risposte:

Una famiglia di bitvector è la classe di soluzioni a un problema 2-SAT se e solo se ha la proprietà mediana: se si applica la funzione della maggioranza bit a bit a tre soluzioni si ottiene un'altra soluzione. Vedi ad esempio https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability e i suoi riferimenti. Quindi, se riesci a trovare tre soluzioni per le quali ciò non è vero, allora sai che non può essere espresso in 2-CNF.

— David Eppstein
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David, grazie, lo cercherà. @vzn - La risposta di David è correlata a ciò che hai commentato 2 giorni fa sul sito di chat, che esistono formule 3SAT per tutti i set di vettori di bit e stai cercando un risultato per le formule 2SAT relative a set di bit-vector?

— Sameer Gupta,

David, Yuval - Certamente le tue prove funzioneranno se si usa lo stesso insieme di variabili. Ma cosa succede se l'insieme di variabili utilizzate può essere completamente diverso? Dai un'occhiata alla risposta di Martin Seymour qui: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - Per dimostrare che non esiste una riduzione equa soddisfacente (preferibilmente spazio di registro) da K-Clique o K-Matching a 2SAT richiederebbe una prova diversa . Pensieri?

— Sameer Gupta,

L'aggiunta di variabili ausiliarie e quindi la loro proiezione non aiuta, perché se la proprietà mediana è vera per il sistema di variabili aumentato, allora è ancora vero nella proiezione.

— David Eppstein,

Un altro modo di dire è che la mediana (o la maggioranza) è un polimorfismo per i vincoli 2SAT. In effetti, è noto che qualsiasi CSP (anche non booleano) che ha la maggioranza come polimorfismo è in

(Dalmau-Krokhin '08).

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— Arnab

Sia una proprietà su variabili. Supponiamo che esista una formula 2CNF tale che $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Sosteniamo che equivale a una formula 2CNF coinvolge solo . Per dimostrarlo, è sufficiente mostrare come eliminare . Scrivi

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

dove

sono letterali e

non coinvolge

. La formula

è equivalente a

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

Ciò dimostra l'affermazione quando

non appare in una clausola unitaria; se lo fa, possiamo eliminarlo direttamente.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
fonte

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Sì, conosco le funzioni di addizione, moltiplicazione e conteggio, ma è facile convertirle in versioni decisionali dei rispettivi problemi.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) Quindi, per il conteggio , anche se potresti non essere in grado di ottenere un'espressione equivalente in 2-CNF, usando il metodo indicato in (b), puoi ottenere un'espressione 2-CNF equi soddisfacente .

Quindi sì, 2-SAT può contare.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Martin Seymour
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Ri (c), se credi alla mia risposta, allora un'espressione 2-CNF equisoddisfacente può essere convertita in un'espressione 2-CNF equivalente in buona fede.

— Yuval Filmus,

-

$-$

$~$

Puoi leggere la mia risposta e vedere di persona. Si noti che non ci sono limiti di tempo / spazio in questo caso.

— Yuval Filmus,

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$